Determinar todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2)$ todos los $x,y\in\mathbb{N}$ (concurso de pregunta)

Question

La pregunta siguiente es desde el 2002 Canadá Olimpiada Nacional. Yo he encontrado una familia de funciones, pero necesita ayuda en la búsqueda de (o demostrar la no-existencia) de los demás. Sugerencias sobre cómo mejorar el método de solución (especialmente el rigor de los argumentos) también sería apreciada.

Deje $\mathbb{N} = {0,1,2,\dots}$. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que

$xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x^2 + y^2) \tag{1}$

para todos los $x,y \in \mathbb{N}$.

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Expresan $f$ como una potencia de la serie:

$f(t) = a_0 + \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_k x^k}} \tag{2}$

Suponiendo que la potencia de la serie es convergente, el general coeficiente, $a_n$, es la misma en ambos lados de la ecuación (1). [No estoy seguro de este paso].

Así, por $a_0$

$x(a_0) + y(a_0)=(x+y)(a_0)$

que se satisface para todos los valores de $a_0$. Por lo tanto $\boxed{f(t)=a_0,\:a_0\in\mathbb{N}}$ es una solución.

Para cualquier $n > 0$, tenemos

$\begin{align} x a_n y^n + y a_n x^n &= (x+y)a_n(x^2+y^2)^n \iff \\ a_n(xy^n+yx^n) &= a_n(x+y)(x^2+y^2)^n \end{align}$

y si esto es cierto para la renta fija $n>0$ y todos los $x,y\ge0$$a_n=0$. Así que soy incapaz de encontrar cualquier otras funciones.

Answer 1

Set $y=0$. Esto nos da $$xf(0)=xf(x^2)$$ para todos los $x$, y por lo $f(x^2)=f(0)$ todos los $x$.

Ahora tome $x=3n^2$ $y=4n^2$ algunos $n$. Tenemos que $$3n^2 f(4n^2) + 4n^2 f(3n^2) = 7n^2 f(25n^4)$$ Desde $f(4n^2)=f(25n^4)=f(0)$, obtenemos $$4n^2 f(3n^2) = 4n^2 f(0)$$ y por lo $f(3n^2)=f(0)$ todos los $n$.

A continuación, vamos a $x=12n^2$ $y=5n^2$ algunos $n$. Entonces $$12n^2 f(5n^2) + 5n^2 f(12n^2) = 17n^2 f(169n^4)$$ De nuevo, desde el $f(12n^2)=f(169n^4)=f(0)$, obtenemos que $$12n^2 f(5n^2) = 12n^2 f(0)$$ y por lo $f(5n^2)=f(0)$ todos los $n$.

Ahora vamos a $x=2n^2$ $y=n^2$ algunos $n$. Tenemos que $$2n^2 f(n^2) + n^2 f(2n^2) = 3n^2 f(5n^2)$$ y desde $f(n^2)=f(5n^2)=f(0)$, obtenemos que $$n^2 f(2n^2) = n^2 f(0)$$ darnos ese $f(2n^2)=f(0)$ todos los $n$.

Por último, vamos a $x=y$. Esto nos da $$2xf(x) = 2xf(2x^2)=2xf(0)$$ para todos los $x$, y por lo $f(x)=f(0)$ todos los $x$.

Por lo tanto las únicas funciones que satisface la ecuación son constantes las funciones, y se puede comprobar que cualquier función constante en efecto, satisfagan la ecuación.

Answer 2

Deje $\mathbb{N} = {0,1,2,\dots}$. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que

$xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x^2 + y^2) \tag{OP}$

para todos los $x,y \in \mathbb{N}$.

Deje $k=x=y$, entonces tenemos $$ k f(k) + k f(k) = (k+k) f( k^2 + k^2) f(x) = f(2x^2) $$

lo que implica

$$ f(k) = f( 2 k^2 ) \etiqueta{1} $$

Deje $P^n_\mathbb{N}(k)$ ser un polinomio $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ donde $k^n$ es el más alto poder.

Cuando tratamos de $$ f(k) = P^n_\mathbb{N}(k) $$

a continuación, obtenemos $$ f(k^2) = P^n_\mathbb{N}(k^2) = P^{2n}_\mathbb{N}(k). $$

De ahí que, debido a (1), llegamos a la

$$ P^n_\mathbb{N}(k) = P^{2n}_\mathbb{N}(k) \Longrightarrow n = 2n \Longrightarrow n = 0. $$

Así que la conclusión es que el $f(k)$ es sólo una constante. Así

$$ f(k) = c \in \mathbb{N}. $$