Número de formas de representar $100$ como una suma de $1, 5, 10, 25$

Question

¿De cuántas maneras puedes representar $100$ como una suma usando sólo estos números: $1, 5, 10, 25$ ¿si el orden no importa? ¿Y si el orden sí importa?

Mi solución:
Deja que el poder de $x$ denotan nuestra suma actual. Tenemos que tomar cualquier número de unos, cincos, dieces y veinticinco como necesitemos, sólo para obtener el exponente de $x$ para ser $100.$ La función generadora será: $$f(x) = (x^0 + x^1 + x^2 + \dots)(x^0 + x^5 + x^{10} + \dots)(x^0+x^{10}+x^{20} +\dots)(x^0 + x^{25}+x^{50}+ \dots) = \frac{1}{(1-x)(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{25})}$$ Tenemos que tomar el coeficiente en $x^{100}$ que es $242$ .
Ahora bien, si el orden importara, entonces tendríamos que considerar secuencias en lugar de conjuntos múltiples, y entonces la función generadora sería $$g(x) =\sum_n(x+x^5+x^{10}+x^{25})^n$$ Y ahora el coeficiente sería $ 8 577 828 731 901$ .

Bueno, hay una pequeña diferencia entre estos números y por lo tanto - mi pregunta es - ¿es mi método para resolver esto correcto? Si es así, supongo que estos enormes números se derivan de factoriales muy grandes.

Answer 1

Su enfoque es bueno. Sí, el número mucho mayor de sumas ordenadas proviene de las permutaciones. Como ejemplo sencillo, considere $100=50\cdot 1 + 10 \cdot 5$ . En la primera parte esto representa una forma de hacer $100$ . En el segundo, representa ${60\choose 10}=75\ 394\ 027\ 566$ maneras porque puedes elegir cualquier $10$ de la $60$ posiciones para el $5$ s.