cómo construir un polinomio

Question

Tengo una pregunta:

Una secuencia finita de números reales $c_1, c_2, \dots, c_{n−1}$ se llama sierra- como si tuviéramos $(−1)^k(c_k − c_{k+1}) \leq 0$ para todos $k = 1, \dots , n − 2$ o si tenemos $(−1)^k(c_k − c_{k+1}) \geq 0$ para todos $k = 1, \dots , n − 2$ . Demostrar que $c_1, c_2, \dots , c_{n−1}$ es una secuencia tipo sierra si y sólo si existe un polinomio $f (x)$ de grado $n$ con coeficientes reales tales que

(1) $x_1 \leq \dots \leq x_{n−1}$ son puntos críticos de $f$ ;

(2) $f (x_k) = c_k$ para $k = 1, \dots , n − 1$ .

He probado una dirección, que es "si tenemos tal polinomio $f$ entonces la secuencia finita { $c_k$ es como una sierra". Pero no sé cómo probar la otra dirección. Creo que necesito construir un polinomio $f$ entonces demuestre que satisface todas las propiedades. ¿Pero no sé cómo construirlo? ¿Utilizar la fórmula de interpolación de Lagrange? Gracias.

Answer 1

Existe una generalización de la interpolación de Lagrange, llamada interpolación de Hermite, que iguala tanto los valores de una función como los de su(s) derivada(s). Parece que es lo que hay que hacer. http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_interpolation debería servirte para empezar.