Deje $a_{n}=(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\ldots(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}), n \geq 1 $. A continuación, $\lim_\limits{n \rightarrow \infty} a_{n} $

Question

Las opciones son: (a) es igual a 1 (B) no existe (C) es igual a $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ (D) 0. He multiplicado cada numerador con $\sqrt{n+1}+1$, $\forall n = 1$ a $\infty$ y luego se metió $a_{n}=\frac{n!}{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})\ldots((n+1)+\sqrt{n+1})}$. Por lo que este debe converger a 0 a la derecha desde la fracción viene como $\frac{n!}{(n+1)!+\mathrm{something}}$ ?

Answer 1

Podemos escribir

$$a_n = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\cdots \frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}\frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}\cdots \frac{n}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+1)}$$

Para cada entero positivo $k$, $\sqrt{k}(\sqrt{k}+1) > \sqrt{k}\cdot\sqrt{k} = k$; por lo tanto

$$a_n < \frac{1}{2}\frac{2}{3}\cdots \frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$$

Desde $\lim \frac{1}{n+1} = 0$ $a_n$ es positivo, por el teorema del sándwich debemos tener $\lim a_n = 0$.

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)=e^{\sum_{k=1}^n \log\left(1-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)}$$

y $\log\left(1-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{k+1}}+O\left(\frac{1}{(k+1)^{3/2}}\right)$. Ahora, aplicar la prueba de comparación para ver que el codiciado límite debe ser $0$.