Estoy en medio de una prueba en la que me pregunté sobre lo siguiente:
¿Es el núcleo del operador adjunto igual al núcleo del operador ( $ \ker (A)= \ker (A')$ )?
Teorema :Deje $X,Y$ ser espacios de Banach y $A$ un operador de límite lineal. El cierre de la imagen es $ \overline {Im\: }A=\{y \in Y:f(y)=0, \forall f \in Y'$ de tal manera que $A'f=0$ }. $(A'f)(x)=f(A(x))$ es el operador adjunto.
$Im(A)= \ker (A')^ \bot $
Así que creo que es sencillo la siguiente identidad:
$ \ker (A)=Im(A)^ \bot = \ker (A')$
Así que $ \ker (A)= \ker (A')$
Pregunta:
¿Son válidos estos movimientos? ¿Es el núcleo del operador adjunto igual al núcleo del operador ( $ \ker (A)= \ker (A')$ )?
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El núcleo de $A'$ vive en $Y'$ y la de $A$ en $X$ . Para empezar, no son subconjuntos del mismo conjunto.
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$A$ y $A'$ tienen dominios diferentes, así que ¿cómo pueden ser iguales sus núcleos?