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¿Es el núcleo del operador adjunto igual al núcleo del operador ( $ \ker (A)= \ker (A')$ )?

Estoy en medio de una prueba en la que me pregunté sobre lo siguiente:

¿Es el núcleo del operador adjunto igual al núcleo del operador ( $ \ker (A)= \ker (A')$ )?

Teorema :Deje $X,Y$ ser espacios de Banach y $A$ un operador de límite lineal. El cierre de la imagen es $ \overline {Im\: }A=\{y \in Y:f(y)=0, \forall f \in Y'$ de tal manera que $A'f=0$ }. $(A'f)(x)=f(A(x))$ es el operador adjunto.

$Im(A)= \ker (A')^ \bot $

Así que creo que es sencillo la siguiente identidad:

$ \ker (A)=Im(A)^ \bot = \ker (A')$

Así que $ \ker (A)= \ker (A')$

Pregunta:

¿Son válidos estos movimientos? ¿Es el núcleo del operador adjunto igual al núcleo del operador ( $ \ker (A)= \ker (A')$ )?

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El núcleo de $A'$ vive en $Y'$ y la de $A$ en $X$ . Para empezar, no son subconjuntos del mismo conjunto.

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$A$ y $A'$ tienen dominios diferentes, así que ¿cómo pueden ser iguales sus núcleos?

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Studer Puntos 1050

Incluso si $X=X'=Y=Y'$ no es cierto que $\ker A'=\ker A$ . Por ejemplo, tome $X=\mathbb C^2$ y $$ A=\begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix}. $$ Entonces, bajo las identificaciones habituales se tiene $$ A'=\begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix} $$ En este escenario, la igualdad que se mantiene es que $$ \ker A=\text{ran}\,(A')^\perp. $$ En el ejemplo anterior, se tiene $\text{ran}\,A\subset \ker A$ .

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student Puntos 21

Esto no es cierto. $\ker(A)$ es un subconjunto de $X$ , mientras que $\ker(A')$ es un subconjunto de $Y'$ .

Donde inicialmente parece que te desvías es en la igualdad $\ker (A)=Im(A)^\bot$ . De nuevo, se trata de subconjuntos de espacios diferentes, por lo que no pueden ser iguales.

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¿Quieres decir que \ker (A)=Im(A)^\bot? ¿Está de acuerdo con la igualdad $Im(A)=\ker(A')^\bot$ ?

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He copiado exactamente lo que has planteado. No, pero estoy de acuerdo con $\overline{\operatorname{Im}(A)}=\ker(A')_\perp$ .

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