Esta afirmación no es correcta: el último $dz$ necesita ser $|dz|$ .
$$\left\|\frac{1}{2\pi i}\int_\varGamma f(z)(zI-A)^{-1} \mathrm{d}z\right\| \leq\frac{1}{2\pi}\int_\varGamma \lvert f(z)\rvert \left\| (zI-A)^{-1} \right\| |\mathrm{d}z|$$
Mediante la parametrización $\Gamma$ La integración sobre $\Gamma$ se reduce a la integración en algún intervalo $[a,b]$ . La desigualdad deseada es un caso especial de la desigualdad integral del triángulo. Siempre que $g:[a,b]\to X$ es una función integrable que toma valores en un espacio normado $X$ la desigualdad $$ \left\|\int_a^b g(t)\,dt \right\|\le \int_a^b\|g(t)\|\,dt \tag{2} $$ se mantiene. En tu caso, $g(t) = f(z)(zI-A)^{-1} \gamma'(t)$ donde $\gamma$ es una parametrización de $\Gamma$ .
Una forma de demostrar (2) es empezar con la desigualdad del triángulo para sumas finitas: $$ \left\|\sum_k g(t_k) \right\|\le \sum_k \|g(t_k)\| $$ y pasar al límite.
Otra es dejar que $I=\int_a^b g(t)\,dt$ y utilizar un funcional de normalización para $I$ un funcional lineal $\varphi:X\to \mathbb C$ de la norma $1$ , de tal manera que $\varphi \left(I\right)=\left\|I \right\|$ . Entonces $$ \|I\| = \varphi \left(I\right) = \int_a^b \varphi(g(t))\,dt \le \int_a^b \|g(t)\|\,dt $$ la desigualdad es puntual.
