Dado el marco $B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,-1)\}$ , encontrar (si es posible) un (i) $(2,1)$ cirugía, y un $(1,2)$ cirugía que producen marcos ajustados.
Un marco es ajustado si y sólo si el operador de marco $B^TB$ es un múltiplo de la identidad. Por lo tanto, las entradas fuera de la diagonal deben ser cero y las entradas diagonales deben ser iguales entre sí.
$\textbf{Part i:}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & a \\ 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & 1 & 1 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+a^2 & 2+ab & 1+ac \\ 2+ab & 3+b^2 & 2+bc \\ 1+ac & 2+bc & 2+c^2 \end{pmatrix}$
Así que para conseguir que la matriz produzca un marco ajustado, tenemos las siguientes ecuaciones:
\begin{cases} 2+a^2=3+b^2=2+c^2 \\ 2+ab=0 \\ 1+ac=0 \\ 2+bc=0 \\ \end{cases}
De la primera afirmación tenemos $$ab+2=bc+2 \iff ab=bc \iff a=c.$$ Así que $ac+1=0 \iff a^2=1=0$ pero entonces no hay valores reales que satisfagan la ecuación. Por lo tanto, no hay valores de $(a,b,c)$ para producir un marco ajustado.
$\textbf{Part ii:}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & a & d \\ 1 & 1 & 1 & 0 & b & e \\ 0 & 1 & 1 & 1 & c & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\d & e & f \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+a^2+d^2 & 2+ab+de & 1+ac+df \\ 2+ab+de & 3+b^2+e^2 & 2+bc+ef \\ 1+ac+df & 2+bc+ef & 2+c^2+f^2 \end{pmatrix}$
Así que para conseguir que la matriz produzca un marco ajustado, tenemos las siguientes ecuaciones:
\begin{cases} 2+a^2+d^2=3+b^2+e^2=2+c^2+f^2 \\ 2+ab+de=0 \\ 1+ac+ef=0 \\ 2+bc+df=0 \\ \end{cases}
¿Cuál es una forma sencilla de encontrar soluciones para estas ecuaciones?
