Encontrar el ángulo que falta de triángulo similar

Question

Encontrar el ángulo que falta $\theta$ en el siguiente triángulo dado que $R>r$, $l\geq R$, $0< \theta < \frac{\pi}{2}$.

Intento De Solución Traté de usar los triángulos semejantes para encontrar el ángulo de $\theta$, pero la expresión resultante para $\theta$ es bastante feo.

$\frac{r}{R\cos\theta+\sqrt{l^2-R^2 \sin^2 \theta}}=\frac{R\sin\theta}{\sqrt{l^2-R^2\sin^2\theta}}$

Me gustaría, a continuación, utilizar algunos solucionador numérico para encontrar $\theta$. Otras maneras para atacar este problema?

Answer 1

Sugerencia

\begin{equation} \begin{cases} S = {S_1} + {S_2} = {1 \over 2}Rr\sin {\theta _1} + {1 \over 2}R{l_2}sin\theta = {1 \over 2}r{l_2} \\ \\ {\cos }{\theta _1} = {{{r^2} + {R^2} - l_1^2} \over {2Rr}} \\ \\ {\cos}\theta = {{l_2^2 + {R^2} - {l^2}} \over {2R{l_2}}} \\ \\ {\cos}{\theta _1} = {\sin}\theta , {\sin}{\theta _1} = {\cos}\theta \\ \\ {r^2} + l_2^2 = {({l_1} + l)^2} \end{casos} \end{equation} Podemos encontrar $l_1 ~ , l_2$, entonces podemos encontrar $\theta$

$S_1 \to $ El área del triángulo de la izquierda

$S_2 \to $ El área del triángulo a la derecha