Es el sucesor de un ordinal límite indefinido?

Question

Supongamos $\beta$ es un ordinal límite. A continuación, para todos $\gamma < \beta$, $\mathbf{s}(\gamma) < \beta$.

Ahora me pregunto si tiene sentido considerar la $\alpha = \mathbf{s}(\beta)$. Si es así, $\alpha$ no es un ordinal límite, ya que es un ordinal sucesor. Parece poco intuitivo, pero yo también no veo nada de malo, ya que $\alpha = \beta \cup \{ \beta \}$ parece estar bien definida.

Me estoy perdiendo algo aquí? Saludos.

Answer 1

El sucesor de un ordinal límite está bien definido: $s(\beta) = \beta \cup \{\beta\}$ donde $\beta$ es el límite ordinal.

Sin embargo, un límite ordinal no es el sucesor de cualquier número ordinal.

Answer 2

En la teoría de conjuntos, en función de los números ordinales es continua si el valor de la función en un ordinal límite es el límite de los valores de la función en el más pequeño de los números ordinales. Si usted encuentra el hecho de que el límite de los números ordinales tienen sucesores a ser contrario a la intuición, a continuación, usted parece estar pensando en términos de funciones continuas. La función sucesor, es en cambio un buen ejemplo de una función discontinua en los ordinales.