(Una pregunta con respecto a: a) la gráfica asociada con una cubierta abierta de un espacio topológico.

Question

Deje $X$ denotar un espacio topológico y supongamos que $\mathcal{O}$ es una cubierta abierta de a $X$. Suponga $\emptyset \notin \mathcal{O}.$ (Gracias Niels!) Ahora hacer $\mathcal{O}$ en un (grafo) graficar de la siguiente manera:

• Vértices: elementos de $\mathcal{O}$.
• Bordes: se dibuja un arco entre dos vértices iff que tiene un no-vacío intersección cuando se ve como subconjuntos de a $X$.

Pregunta. Es cierto que si $X$ está conectado (como un espacio topológico), a continuación, $\mathcal{O}$ está conectado (como un gráfico)?

En el caso de que la cubierta está abierta $\mathcal{O}$ tiene sólo dos elementos es fácil, pero el caso general donde $\mathcal{O}$ es permitido tener arbitraria cardinalidad es más difícil.

Answer 1

Sí. Decir $E_0\in\mathcal O$. Deje $\mathcal O_0$ denota el conjunto de $E\in\mathcal O$ tal que $E$ está conectado a $E_0$ a través de una cadena de vértices en ese gráfico. Deje $\mathcal O_1=\mathcal O\setminus \mathcal O_0$. Deje $V_j$ ser la unión de la $E\in \mathcal O_j$, $j=0,1$. Por lo que el $V_j$ están abiertos y $X=V_0\cup V_1$.

Ahora si $E\in\mathcal O_0$, $F\in\mathcal O$ y $E\cap F\ne\emptyset$, a continuación, la definición de $\mathcal O_0$ muestra que $F\in\mathcal O_0$. Es decir, que ningún elemento de la $\mathcal O_0$ puede cortar cualquier elemento de $\mathcal O_1$. El que dice que $V_0\cap V_1=\emptyset$.

Desde $X$ está conectado y $V_0\ne\emptyset$ esto demuestra que $V_1=\emptyset$ y, por tanto,$\mathcal O_1=\emptyset$; por lo $\mathcal O=\mathcal O_0$, diciendo que el gráfico está conectado.

Answer 2

Esto parece ser cierto. Tenga en cuenta que si $K \subset \mathcal{O}$ $\bigcup K$ es un subconjunto abierto de $X$. También, si $K_1$ $K_2$ (el vértice conjuntos de) distintos componentes de $\mathcal{O}$, a continuación,$\bigcup K_1 \cap \bigcup K_2 = \emptyset$. Por lo tanto la descomposición de $\mathcal{O}$ en componentes induce una descomposición de la $X$ en abierto conjuntos.