Número esperado de veces hasta conseguir dos 6

Question

¿Cuál es el número esperado de veces que necesitamos para rodar un dado hasta que tengamos dos periodos consecutivos de 6 s?

Por definición, es $\sum_{i=1}^\infty i\cdot Pr[X=i]$. Si necesitamos $i$ rollos, eso significa que los dos últimos rollos son 6. Pero, ¿cómo podemos calcular la probabilidad de que no haya dos consecutivos 6 ocurrir antes de que?

Answer 1

Es razonablemente claro que existe la expectativa. Llamémoslo $a$. Deje $b$ ser el número esperado de adicionales rollos necesitamos, dado que todavía no hemos llegado a nuestra meta, pero han arrojado $6$.

Si el primer tiro no es un $6$, a continuación, hemos utilizado $1$ roll, y nuestra esperanza condicional, dado que esto ocurrió, se $1+a$. Si el primer lanzamiento es una $6$, a continuación, hemos utilizado un rollo, y la esperanza condicional es $1+b$. De ello se sigue que $$a=\frac{5}{6}(1+a)+\frac{1}{6}(1+b).\tag{1}$$

Supongamos ahora que acabamos de rodar una $6$, y aún no han cumplido nuestro objetivo. Con una probabilidad de $\frac{1}{6}$, desarrollamos un $6$. Hemos utilizado $1$ roll, y el juego es largo. Con una probabilidad de $\frac{5}{6}$, que rollo no$6$, hemos utilizado $1$ lanzamiento, y la esperanza condicional es $1+a$. De ello se sigue que $$b=\frac{1}{6}(1)+\frac{5}{6}(1+a).\tag{2}$$

Hemos obtenido dos ecuaciones lineales en dos incógnitas $a$$b$. Resolver para $a$.

Comentario: Hemos demostrado cómo calcular la expectativa, y en realidad no respondió a la pregunta acerca de la probabilidad de que $X=i$. Para encontrar la expectativa, la distribución de probabilidad de $X$ no es el método más eficaz. Sin embargo, es un problema interesante en sí mismo.

La clave de cálculo que debe efectuarse es la probabilidad de que una secuencia de longitud $n$ termina en un no-$6$, y no tiene $2$ consecutivo $6$'s. Uno puede tener una recurrencia lineal con coeficientes constantes para el número de "buena" secuencias de longitud $n$, y resolver la recurrencia en cualquiera de las formas usuales.

Answer 2

En respuesta a "¿Cuál es la probabilidad de no tener dos consecutivos 6s dentro de $n$ rollos", es posible que desee construir el tiempo discreto de la cadena de Markov correspondientes a su proceso, que en espacio de estado que podría ser definido como tal:

• 0 : no me acaba de rodar un 6
• 1 : acabo de rodar una consecutivos 6
• 2 : acabo de rodar dos consecutivos 6s

Y la matriz de transición sería como sigue:

$$ A = \begin{bmatrix} 5/6 & 1/6 & 0 \\ 5/6 & 0 & 1/6 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

He definido el último estado como absorbente.

Sólo tienes que elevar $A$ $n$th el poder, y la primera fila se dará por $n$ rollos:

• Como la suma del primer y el segundo valor, la probabilidad de que nunca se han rodado 2 consecutivos 6s.
• Como tercer valor, la probabilidad de que se han rodado dos consecutivos 6s en algún momento en el pasado.