Lindelöf Cubre el Teorema de

Question

Si $A \in \mathbb R^n$ $F$ ser un cubrimiento de a $A$. Entonces hay una contables subcolección de $F$, que también cubre $A$.

Prueba: Vamos a $G=\{A_1,A_2, \cdots\}$ denotar el contable de la colección de todos los $n-$bolas de tener racional de los centros y racional de los radios. este conjunto $G$ será usado para ayudarnos a extraer una contables subcolección de $F$ que cubre $A$.

Suponga $x \in A$. Entonces existe un conjunto abierto $S \in F$ tal que $x \in S \implies $ hay un $n-$ bola de $A_k$ $G$ tal que $x \in A_k \subseteq S$. Hay infinidad de $A_k$ pero elegimos el uno con el índice mínimo , decir $m = m(x)$.

Entonces, tenemos $ x\in A_{m(x)} \subseteq S$. El conjunto de todos los $n-$ bolas $A_{m(x)}$ obtenido como $x$ varía con todos los elementos de a $A$ es una contables de la colección de abrir establece que cubre $A$.

Para obtener una contables subcolección de abrir establece que cubren $A$, simplemente se correlacionan con cada conjunto $A_{k(x)}$ uno de los conjuntos de $S$ $F$ que contenía $A_{k(x)}.$ Esto completa la prueba.

$(a)$ Tengo problemas para entender las últimas líneas de la prueba se muestra en el cuadro azul. ¿Qué significa en realidad?

$(b)$Muchas pueden ser las $A_{k(x)}$$S$. donde $S$ es un conjunto abierto en la colección de $F$. En ese caso, vamos a definir $m = \{\min m(x) : x \in S\}$ y asignar $m$$S$?Sin embargo, creo que eso no es posible porque no puede ser infinito número de $m(x)$ $S$

$(c)$ Lo que sucede cuando $x$ pertenece a más de uno abierto conjuntos, decir $ x \in S,T,U,..$. ¿Cómo vamos a definir countability de los bloques abiertos en esa situación?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Corregida y Revisada de la versión: En el original inadvertidamente se utiliza el mismo símbolo para dos cosas diferentes, y junto con la fijación que he simplificado la última parte un poco.

Permítanme ampliar el argumento un poco. Comience con cualquier punto de $x\in A$. $F$ cubre $A$, por lo que hay al menos un conjunto $S\in F$ tal que $x\in S$; elegir cualquiera de los conjuntos, y llamar a $S_x$. (Tenga en cuenta que no nos importa cómo muchos miembros de $F$ contienen $x$: todo lo que importa es que hay al menos uno.) Vamos

$$G_x=\{k\in\Bbb Z^+:x\in A_k\subseteq S_x\}\;;$$

$G$ es una base para la topología de $\Bbb R^n$, por lo que hay al menos un $A_k\in G$ tal que $x\in A_k\subseteq S_x$, y por lo tanto $G_x\ne\varnothing$. A ser definido sobre la materia, vamos a $m(x)=\min G_x$, el miembro más pequeño de $G_x$. (Podríamos simplemente la selección de cualquiera de los miembros de $G_x$$m(x)$, pero esta es una forma sencilla de seleccionar una: $G_x$ es un conjunto no vacío de enteros positivos, y un conjunto siempre tiene un menor elemento.) En este punto tenemos $A_{m(x)}\in G$ $S_x\in F$ tal que $x\in A_{m(x)}\subseteq S_x$. Podemos hacer esto para cada una de las $x\in A$.

Vamos $M=\{m(x):x\in A\}$; $M$ es el conjunto de los enteros positivos que son $m(x)$ durante al menos un punto de $x\in A$. Claramente $M$ es contable, ya que es un subconjunto de a $\Bbb Z^+$. Para cada una de las $k\in M$ vamos $$B_k=\{x\in A:m(x)=k\}\;.$$ Each $B_k$ with $k\in M$ is non-empty, and each point of $$ belongs to exactly one of the sets $B_k$ with $k\in M$; specifically, if $x\en$, then $B_{m(x)}$ is the unique $B_k$ containing $x$. For each $k\in M$ pick any one point of $B_k$ and call it $x_k$; note that $m(x_k)=k$ by the definition of $B_k$, so that $x_k\en A_k$. (Again it doesn't matter how many members $A_k$ has, as long as it has at least one for us to choose.) In fact, $x_k\en A_k\subseteq S_{x_k}$.

Deje $F_0=\{S_{x_k}:k\in M\}$; claramente $F_0$ es una contables de la subfamilia de $F$, y te voy a mostrar que esta familia cubre $A$.

Deje $y$ ser cualquier punto de $A$. A continuación,$y\in A_{m(y)}$. Por comodidad vamos a $n=m(y)$,$n\in M$. Entonces $$y\in A_n\subseteq S_{x_n}\in F_0;,$$ and $F_0$ covers the point $s$. Since $s$ was an arbitrary point of $$, we're done: $F_0$ is a countable subfamily of $F$ that covers $$. $\dashv$

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Traté de responder a sus preguntas (b) y (c) con el paréntesis de comentarios de la prueba. A la dirección (un) he ampliado el argumento de dar detalles de una forma de 'correlacionan con cada conjunto $A_{m(x)}$ uno de los $S$ $F$ que contenía $A_{m(x)}$'. (He cambiado tu $k(x)$$m(x)$, ya que coincide con la notación en el resto de la pregunta.) Específicamente, cada una de las $A_{m(x)}$ $A_k$ algunos $k\in M$, y elegí $S_{x_k}\in F$, de modo que $A_k\subseteq S_{x_k}$; $S_{x_k}$ es el miembro de $F$ que he correlacionada a $A_{m(x)}$. Será en el hecho de ser correlacionada a $A_{m(x)}$ por cada $x\in A_k$.