Una forma elemental de mostrar cualquier subconjunto acotado de $\Bbb{R}^k$ está totalmente acotado

Question

Intento demostrar que cualquier subconjunto acotado de $\Bbb{R}^k$ está totalmente acotado.

Esto es lo que hice:

(1)Un subconjunto de un Conjunto totalmente acotado es acotado:

Prueba: Sea $X$ sea un subconjunto totalmente acotado y $Y\subset X$ entonces existe un $\epsilon /2$ -red $\{x_1,x_2,..,x_n\}$ y $X\subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^n B(x_i,\epsilon/2)$ . Sea $\{x_1,x_2,..,x_m\}$ sean los puntos cuyas bolas contienen $Y$ $(m\le n)$ . Ahora $\forall i \in \{1,..,m\} \exists q_i \in A \cap B(x_i,\epsilon/2) $ y $B(x_i,\epsilon/2)\subset B(q_i,\epsilon)$ . Tenemos para cada $x\in B(x_i,\epsilon/2)$ $$ d(x,q_i)\le d(x,x_i)+d(x_i,q_i) < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 =\epsilon$$

Por lo tanto, $Y \subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^m B(x_i,\epsilon/2) \subset \bigcup_{i=1}^m B(q_i,\epsilon)$ y $q_i \in Y$ para todos $i$ por lo que $Y$ está totalmente acotado

Volvamos al problema:

Dejemos que $A \subset \Bbb{R}^k$ sea un conjunto acotado, entonces $A \subset B(0,R)$ para algunos $R$ entonces $A \subset [-R,R] \times [-R,R] \times ...\times [-R,R] $ entonces $A$ es un subconjunto de un conjunto compacto por el Teorema de Heine-Borel que también es un conjunto totalmente acotado, por tanto por (1) $A$ está totalmente acotado.

Estoy tratando de hacer este problema utilizando sólo (1) sin invocar el teorema de Heine-Borel, ¿alguien puede decirme cómo se puede hacer? (¿Es la prueba de (1) correcta para el caso?)

Answer 1

Si $B$ está acotado en $\mathbb R^n$ está contenida en algún cubo $[-R,R]^n$ . Entonces, para cualquier $\epsilon>0$ sólo hay que considerar todas las bolas de radio $\epsilon$ centrado en el conjunto $$ (\frac \epsilon 2\mathbb Z)^n \cap [-R,R]^n $$ estas bolas son un número finito (menos de $(4R/\epsilon+1)^n$ ) y cubrir todo el cubo $[-R,R]$ .

Answer 2

Voy a ser sistemático aquí, creo que puede ayudar.

D Dejemos que $S$ sea cualquier subconjunto de $\Bbb R^n$ . Dado $\epsilon >0$ decimos que $N$ es un $\epsilon$ -red para $S$ si el conjunto de bolas abiertas

$$B_\epsilon(N)=\{B(x,\epsilon):x\in N\}$$

cubre $S$ . Es decir, el conjunto de bolas abiertas de radio $\epsilon$ centrado en los puntos de $N$ portada $S$ .

D Decimos que un subconjunto $S$ de $\Bbb R^n$ es precompacto o totalmente acotado si para cada $\epsilon >0$ ; existe un finito $\epsilon$ -red para $S$ .

T Dejemos que $S$ estar acotado en $\Bbb R^n$ . Entonces $S$ es precompacto.

P La limitación implica $S$ está contenida en alguna bola cerrada $B$ . Pero cada una de estas bolas sólo contiene un número finito de elementos de la forma

$${\bf x}_{\ell,{\bf k}}= \left(\frac{k_1}{2^\ell},\dots,\frac{k_n}{2^\ell}\right)$$ para $k_i,\ell \in \Bbb Z\;\;;\ell \geq 0$ , a fijo número, mientras que el $k_i$ varía independientemente a través de los enteros. Pero entonces, dado $\epsilon >0$ podemos tomar $\ell $ lo suficientemente grande como para que $\frac 1 {2^\ell}<\epsilon$ y el conjunto de tales puntos ${\bf x}_{\ell,k}$ contenida en $B$ será un finito $\epsilon$ -red para $S$ .

NOTA Obsérvese que la prueba se basa simplemente en producir lo que habitualmente pensamos que es una red: mostramos la intersección de nuestra bola con la red de "malla" $1/2^\ell$ es finito, y luego demostrar que esta intersección es un $\epsilon$ -net (ya que hacemos $2^{-\ell}$ pequeño) del conjunto subyacente $S$ dentro de $B$ . Tenga en cuenta que utilizamos el $k$ en el denominador el eventualmente "salir" de la bola abierta (ya que está acotada, algún natural hará $k/2^\ell$ "dejar" la pelota, por pequeña que sea $2^{-\ell}$ es).