Acerca de $\int_0^1 f_n(x)dx$ al $f_n$ $f:x\mapsto2x(1-x)$ compuesta $n$ veces con la misma

Question

La pregunta siguiente es tomado de aquí el ejercicio $4:$

Deje $f(x) = 2x(1-x),x\in\mathbb{R}.$ Definir $$f_n = f \circ f \circ ... \circ f (n \text{ times}), f_n(x)=f(f(...f(x)...)).$$ (a) Encontrar la $$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^1 f_n(x)dx.$$ (b) Calcular la integral de la $$\int_0^1 f_n(x)dx.$$

Yo uso Wolfram Alpha para obtener la respuesta $\frac{1}{2}$ (a) y $\frac{2^{n-1}}{1+2^n}$ (b).

Sin embargo, no tengo idea sobre cómo acercarse a la respuesta. Para (un), yo trato de evaluar la composición directamente. Sin embargo, tengo problemas para evaluar al $n=3.$ creo que necesitan intercambiar el límite e integral, pero incluso después de que yo no tengo ni idea.

Answer 1

Completando el cuadrado: $$f(x)=2x(1-x) = -2 (x-\tfrac 1 2)^2 +\tfrac 1 2$$ Podemos ver más claramente lo $f$, $X=x-\tfrac 1 2$ mediante la definición de $$F(X) = f(X+\tfrac 1 2) - \tfrac 1 2$$ así $$F(X)=-2X^2$$ lo que da $$F^{\circ n}(X) = -2^{2^n-1}X^{2^n}$$ $$f^{\circ n}(x) = -2^{2^n-1}(x-\tfrac 1 2)^{2^n}+\tfrac 1 2$$

Tengo la integral sobre la $x\in[0,1]$$\tfrac 1 2 - \frac 1 {(2^n+1)2^n}$, por lo que podría ser una media aritmética error en alguna parte.