Esta es una pregunta que he estado pensando durante un tiempo, para lo cual no tengo una respuesta satisfactoria. Supongamos que $T$ es un densamente definido por el operador en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ tal que $R(T)\subseteq D(T)$ $T^2x = x$ todos los $x\in D(T)$. Es posible que $T$ a ser ilimitado? O debe densamente definido involuciones estar acotada? Yo creo que debe ser limitada, ya que viene con una explícita contra-ejemplo es bastante difícil, pero eso sólo puede ser un testamento a mi falta de creatividad ilimitado a los operadores.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Así me siento un poco tonta por preguntar ya que me acaba de llegar con un contra-ejemplo después de pensarlo $2\times 2$ matrices y lo que el involuciones son en ese entorno. Deje $(e_i)$ ser un ortonormales base para $\ell^2$. Definir $D(T) = \operatorname{span}\{e_i: i\ge 0\}\subseteq \ell^2$ (que es claramente densa) y definir $T$ a través de su representación de la matriz por
$$T=\left(\begin{array}{cccc} \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) & & & \\ & \left(\begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{2} \\ 2 & 0 \end{array}\right) & & \\ & & \left(\begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{3} \\ 3 & 0 \end{array}\right) \\ & & & \ddots\end{array}\right).$$
$R(T)\subseteq D(T)$ desde finito de combinaciones lineales de las $e_i$ se correlacionan con combinaciones lineales finitas de la $e_i$. Por otra parte $T^2x = x$ cualquier $x\in D(T)$ desde $T$ es una suma directa de involuciones.
Considerar, a continuación, la secuencia de $x_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots)$ donde $1$ se produce en el $2n^{\text{th}}$ spot. Además, cada una de las $x_n$ tiene norma. Sin embargo $\|Tx_n\|= n\|x_n\|$, por lo que la secuencia de $\|Tx_n\|$ diverge. Por lo tanto, $T$ es ilimitado.
