¿Cuáles son los usos de "apretar"?

Question

De la mano, los usos de "apretar" en el que puedo pensar son:

• mostrando que $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}x = 1$, el cual es utilizado en la búsqueda de derivados (PS: acabo de recordar este elemento muestra $\tan'=\sec^2$ apretando, sin diferenciación de cualesquiera otras funciones trigonométricas ni encontrar ningún tipo de límites, además de la de la definición de la diferenciación. Estoy inclinado a considerar la posibilidad de que otra parte del mismo artículo en la lista en lugar de un punto aparte, pero me alegro de que también sé que este argumento.);
• ejercicios de como encontrar el límite de la anterior, cuando se $x\to0$ se ha cambiado a $x\to\infty$, o determinar la convergencia o divergencia de una serie haciendo algo que implican búsqueda de los límites de ese tipo, etc.; donde todo esto no es posteriormente utilizada para obtener otros resultados;
• mostrando que hay funciones que son diferenciable en todas partes, pero cuya derivados de discontinuidades;
• Varias cosas en la probabilidad de que, posiblemente, la más destacada de las cuales es la prueba de la debilidad de la ley de los grandes números. Voy a agregar esta viñeta después de escribir el "PS:" a continuación.
• un argumento que escribí. Aquí están algunos detalles: Vamos a $$ N = \text{número de personas cuyos ingresos estrictamente supera }x; $$ $$ M = \text{total de los ingresos de todas las personas cuyos ingresos estrictamente supera }x. $$ Haciendo una continua aproximación a las variables discretas, pretendemos que estos varían continuamente como funciones de $x$. A pesar de que pueden no ser de uno a uno las funciones de $x$, son fácilmente observados a ser de uno a uno las funciones de cada uno de los otros. He demostrado que esta proposición:
  
  Lema: Excepto cuando se $x$ está dentro de un intervalo cerrado en el que $M$ $N$ son constantes como las funciones de $x$,$\dfrac{dM}{dN}=x$.
  
  Esto es fácilmente demostrado por medio de la compresión: Si $\Delta x>0$ $x<\dfrac{\Delta M}{\Delta N}\le x+\Delta x$ e si $\Delta x<0$$x+\Delta x<\dfrac{\Delta M}{\Delta N} \le x$.

Muy posiblemente hay otros usos que conozco muy bien, pero que no vengan a la mente. Si usted fuera a decir a mí, "¿Cómo se puede demostrar $P$?" Yo podría instantáneamente saber que es por medio de la compresión, pero si yo pregunto "¿Qué cosas se hacen por medio de la compresión?", tal vez la mayoría de ellos no vienen a la mente.

Así que mi pregunta es: ¿Cómo podemos ampliar esta lista con viñetas de las aplicaciones de apretar, listado de los elementos en el orden de su importancia en el trabajo de la genérica de trabajo matemático, incluyendo, pero no limitado a, los usos en la investigación, becas de estudio, la pedagogía, y las aplicaciones de las matemáticas a otros campos?

PS: me había olvidado de este tema, que podría ser lo que me hizo pensar en esta pregunta, en primer lugar: Independiente, variables aleatorias con distribución equitativa de satisfacer: $\lim_{n \to \infty}\mathbb{P}\left(X_{n+1} > \sum_{i = 1}^{n}X_i\right) = 0$

Answer 1

Aquí un pequeño menor de ejemplo:

Si el coche va de sesenta kilómetros en dos horas, su velocidad media durante ese tiempo se $60/2=30$ millas por hora. Pero, ¿cuál es su velocidad en un instante, cuando va de $0$ km en $0$ horas? Convencionalmente se habla de un límite de un cociente de la diferencia, pero aquí es una definición por medio de la compresión:

Si Un coche se apodera de coche B, en un instante determinado y el coche B tiene una velocidad constante (de modo que su velocidad en ese instante es problemático), entonces el coche no puede ir más rápido que el coche B en ese instante porque Un coche puede haber sido la ralentización mientras se aproxima a B, entonces la coincidencia exacta de las velocidades en ese instante, luego se acelera. Pero Un coche de la velocidad en ese instante era no más lento que el de coche B, la definición de cuya velocidad en ese instante es problemático. Si podemos exprimir el coche a Una velocidad de entre las de todos los coches a velocidades constantes cuya velocidad no es mayor que la de Un coche, y todos esos cuya velocidad es menor que la de Un coche, entonces podemos definir la velocidad instantánea de coche A.

Esta es la definición de "derivados" que se utiliza en el libro titulado Cálculo Ilimitado. (Libros de ese tipo debe fallar en nuestra actual cultura pedagógica porque "nosotros" (I negarse a tomar esa palabra ofensiva literalmente aquí) deliberadamente empuje en la toma de cálculo a aquellos estudiantes que sabemos que es incapaz de aprender correctamente el cálculo, digamos apreciar cosas como esta.)

Answer 2

Cualquier instancia del límite en algún punto de una función seno o coseno multiplicada por una función que tiende a cero en ese punto puede ser demostrado ser cero apretando. Por ejemplo, $$\lim_{x \rightarrow0}x\cos x=0$$ because $$-x\leq x\cos x\leq x$$ and $$\lim_{x\rightarrow0}-x=\lim_{x\rightarrow0}x=0.$$ In addition, limits at plus or minus infinity can be calculated this way. As an example, $$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x\sin x=0.$$ It is bounded by the functions $e^x$ and $-e^x$, both of which approach $0$ as $x\rightarrow-\infty$.

Edit: Esto se puede generalizar para el caso de cualquiera limitada función, no sólo en el seno o coseno funciones. Por ejemplo, $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{1+x^2}=0.$$ The bounded function in this instance is $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ and the function that approaches zero is $g(x)=x$.

Edit 2: Todo esto es, de hecho, inútil, a menos que una o ambas de las funciones es discontinuo.

Answer 3

Aquí es una aplicación no trivial de exprimir lo que podría (teóricamente) se muestra para el primer semestre de cálculo de los alumnos, en el sentido de que utiliza un mínimo de maquinaria.

Es bien sabido que si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función continua que satisface la ley exponencial $f(x+y) = f(x)f(y)$, $f$ es de hecho infinitamente diferenciable y satisface $f'(x) = f'(0)f(x)$. [De hecho, uno puede debilitar la hipótesis, en sustitución de la continuidad de la $f$ por la mensurabilidad o incluso local, mensurabilidad, pero vamos a mantener esto más a un cálculo de nivel.] La "parte dura", es mostrar que $f'(0)$ existe; una vez que tengamos eso, es un sencillo cálculo. Pero, ¿cómo se demuestra la derivada existe?

Una famosa prueba va de esta manera: supongamos que estamos en el trivial caso de que $f$ no es idéntica a cero y, por tanto, está en todas partes positivas. A continuación, $\int_0^a f(t) dt$ es distinto de cero para algunos $a$ (la integral de Riemann existe desde $f$ es asumido continua); deje $C$ denotar esta cantidad. Entonces

$$Cf(x) = \int_0^a f(x)f(t)dt = \int_0^a f(x+t)dt = \int_x^{x+a} f(t)dt$$

donde el lado derecho es diferenciable por el teorema fundamental del cálculo.

Que bueno, pero que hace presuponer una cierta cantidad de la integración de la teoría, es decir, la maquinaria que no vamos a presumir de nuestro primer semestre, los estudiantes saben. Del mismo modo, no podemos suponer que los alumnos sepan el valor medio teorema o el teorema del valor intermedio (o no es la manera de demostrar a ellos!). Todos me gustaría presumir de nuestra (ideal) de los estudiantes es que ellos saben que un conjunto de reales, con un límite superior/límite inferior tiene una lub/glb.

Así, aquí hay otro método. En primer lugar demostrar que $f$ es una función convexa, es decir, que para $x, y$ $0 \leq t \leq 1$ tenemos $f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$. Croquis de la prueba: mostrar que sostiene en $t = 1/2$ invocando $a b \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ donde$a = f(x/2)$$b = f(y/2)$. Repetir esto para probar la desigualdad para todos los diádica racionales $t \in [0, 1]$. A continuación, se extienden a todos los $t \in [0, 1]$ invocando la continuidad de $f$.

Se desprende de la convexidad de $f$ que las pendientes de las secantes líneas de $\frac{f(t) - f(0)}{t}$ están aumentando como una función de un valor distinto de cero $t$. Así, las pendientes positivas $t$ tienen un límite inferior dado por $\frac{f(s)-f(0)}{s}$ cualquier $s < 0$, por lo tanto tienen una mayor límite inferior; esta inf es la mano derecha de la derivada

$$R_0 = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)-f(0)}{t}$$

desde estas secantes descenso del $t$ disminuye a $0$. Por un razonamiento similar, la parte izquierda de la derivada

$$L_0 = \lim_{t \to 0^-} \frac{f(t)-f(0)}{t}$$

existe, y tenemos $L_0 \leq R_0$. Todo lo que tenemos que hacer es demostrar $L_0 = R_0$, o que $c := R_0/L_0 = 1$ (sabemos $1 \leq c$).

Aquí es donde aplicamos una presión argumento. Definir

$$L_a := \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}; \qquad R_a := \lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Uno fácilmente se comprueba que $R_a = f(a)R_0$$L_a = f(a)L_0$. Por lo tanto $R_a/L_a = c$ cualquier $a$. También observar por nuestra anterior razonamiento que siempre $a \lt b$, tenemos

$$R_a \lt \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \lt L_b$$

de modo que $L_b/R_a \gt 1$. Telescópica, tenemos para todos los $n$ que

$$\matriz{ \frac{L_1}{L_0} & = & (\frac{R_0}{L_0}\frac{L_{1/n}}{R_0})\cdot (\frac{R_{1/n}}{L_{1/n}}\frac{L_{2/n}}{R_{1/n}}) \cdot \ldots \cdot (\frac{R_{(n-1)/n}}{L_{(n-1)/n}} \frac{L_1}{R_{(n-1)/n}}) \\ & \gt & \frac{R_0}{L_0} \frac{R_{1/n}}{L_{1/n}} \ldots \frac{R_{(n-1)/n}}{L_{(n-1)/n}} \\ & = & c^n }$$

de modo que $1 \leq c \lt (\frac{L_1}{L_0})^{1/n}$ todos los $n \geq 1$. Por lo tanto $c = 1$ por apretar argumento, y hemos terminado.