Encontrar el MVUE el uso de Rao-Blackwell Teorema de

Question

El número de averías Y por día para una determinada máquina es una variable aleatoria de Poisson con una media de $\lambda$. El coste diario de la reparación de estas averías es dado por $C=3Y^2$ Si $Y_1, Y_2, ..., Y_n$ denotar el número observado de averías para $n$ independientemente seleccionados días encontrar un MVUE para $E(C)$.

Podemos utilizar el Rao-Blackwell Teorema.

Sabemos que $E(C) = E(3Y^2)=3[V(Y) + (E(Y))^2]$$E(Y)=\lambda=V(Y)$. Con algunos cálculos vemos que $E(Y^2)= \lambda + \lambda^2$

$\sum_{i=1}^n Y_i=\bar Y$ es suficiente estadísticas de $ \lambda$ Así que estoy asumiendo que puede sustituir a $\lambda$ $\bar {Y}$

Estoy seguro de dónde ir desde aquí. Alguien me puede ayudar tire de la cuerda juntos?

Answer 1

Básicamente, usted está tratando de estimar el $\lambda + \lambda^2$. En una distribución de Poisson, la media de la muestra (o la suma) es una completa y suficiente stat, así que si usted puede escribir un estimador como una función de la que es imparcial para $E(C)$, usted gana. Tenemos

$ \sum_i X_i $ se distribuye de la Pdi$(n\lambda)$. Por lo tanto,

$E\left(\sum_i X_i \right)^2 = n\lambda + n^2 \lambda^2 $ y $E(\left(\sum_i X_i \right) = n\lambda$

A continuación, puede ver que $$\frac{\left(\sum_i X_i \right)^2}{n^2} + \frac{(n-1)\left(\sum_i X_i \right)}{n^2} $$

debería funcionar

(Editar - multiplicar todo por 3, ya que realmente estamos estimando $3(\lambda + \lambda^2)$)

Answer 2

$$E(Y^2)=V(Y) + E(Y)^2$$

Es a partir de la definición de la varianza. Se acaba de mudar a su alrededor.