Primero: el hecho de que la identidad $ \sqrt a \sqrt b= \sqrt {ab}$ sólo es válido para los reales no negativos $a,b{}$ no significa que sea siempre falso para otros números.
Pero veamos la prueba de la identidad para ver dónde es esencial que $a$ y $b$ no son negativos:
$$( \sqrt a \sqrt b)^2= \left ( \sqrt a \right )^2 \left ( \sqrt b \right )^2=ab$$ Por lo tanto, $ \sqrt {ab}= \sqrt a \sqrt b$ .
Ahora, hagamos esto por $a=b=-1$ :
$$( \sqrt {-1} \sqrt {-1})^2= \left ( \sqrt {-1} \right )^2 \left ( \sqrt {-1} \right )^2=(-1)(-1)$$ Por lo tanto, $ \sqrt {(-1)(-1)}= \sqrt {-1} \sqrt {-1}$ .
El problema surge en la conclusión. La definición de $ \sqrt {\:}$ dice: $$ \sqrt {x}=y \iff y^2=x \text { and }y \ge 0$$
La última condición es esencial. Muchos libros para estudiantes de secundaria dicen que $ \sqrt 4$ tiene "dos soluciones" pero esto está totalmente equivocado. Lo que tiene dos soluciones es la ecuación $x^2=4$ pero $ \sqrt 4$ es $2$ y no, nunca, $-2$ .
En la falacia estamos diciendo en esencia que $ \sqrt {(-1)(-1)}= \sqrt {-1} \sqrt {-1}$ pero esto está mal porque $ \sqrt {-1} \sqrt {-1}<0$ .
