¿Cuál es la definición de una multa gavilla/ una partición de la unidad en una gavilla?

Question

De Griffiths y Harris, p. 42: Una gavilla $\mathcal F$ $M$ se llama fina, si por $U=\bigcup_i U_i\subseteq M$ hay una partición de la unidad subordinada a la cubierta $(U_i\mid i\in I)$. Con esto nos referimos a una colección de homomorphisms $\eta_i:\mathcal F(U_i)\to\mathcal F(U)$ tal que para $\sigma\in\mathcal F(U)$ tenemos (i) $\operatorname{supp}(\eta_i\sigma)\subseteq U_i$ y (ii) $\sum\eta_i(\sigma|_{U_i})=\sigma$.

Tengo tres problemas con esta definición:

1. Es la suma en (ii) bien definidos? Incluso si ($U_i\mid i\in I)$ es localmente finito no estoy seguro acerca de esto.
2. No debe haber alguna relación entre el $\eta_i$ para las diferentes opciones de $U$?
3. Cómo es $\operatorname{supp}(\sigma)$ definido? Mi idea fue: $p\notin \operatorname{supp}(\sigma)$ fib hay un barrio $V$ $p$ tal que $\sigma|_V=0$. Esto es correcto?

Mientras que el pensamiento acerca de estos problemas, se me ocurrió la siguiente definición:

Una gavilla $\mathcal F$ $M$ se llama fina, si para cada localmente finito abra la cubierta $(U_i\mid i\in I)$ $M$ hay homomorphisms $$ \eta^U_i:\mathcal F(U\cap U_i)\to\mathcal F(U) $$ para cada conjunto abierto $U\subseteq M$ tal que

1. Para $V\subset U$ el siguiente diagrama conmuta: $$\requieren{AMScd} \begin{CD} \mathcal F(U\cap U_i) @>{\eta_i^U}>> \mathcal F(U)\\ @V{r^{U\cap U_i}_{V\cap U_i}}VV @VV{r^U_V}V \\ \mathcal F(V\cap U_i) @>{\eta_i^V}>> \mathcal F(V) \end{CD}$$
2. Es $$\sum_{i\in I} \eta_i^U\circ r^U_{U\cap U_i}=\operatorname{id}:\mathcal F(U)\to\mathcal F(U),$$ where $r^U_V:\mathcal F(U)\a\mathcal F(V)$ son la restricción homomorphisms.
3. Es $$\operatorname{supp}(\eta^U_i\sigma)\subseteq U_i$$ for every $\sigma\in\mathcal F(U\cap U_i)$ and $U$ abiertas.

Es esta una definición razonable?

Answer 1

1. Una explícita asunción de la existencia de la partición de la unidad es que esta suma debe ser localmente finito, es decir, que para cualquier $x\in U_i$ que hay un barrio en la que todos, pero un número finito de la $\sigma$ se desvanecen. Si Griffiths y Harris no el estado de esta, puede que haya sido un descuido, o tal vez se supone que estaba implícito en la "partición de la unidad". Más conceptual manera de pensar es lo que necesitamos esta condición nos da la capacidad de construir una gavilla endomorfismo que es la identidad en el conjunto abierto, lo que podemos hacer siempre y cuando tengamos bien definido sumas a nivel local. Véase, por ejemplo, la nLab definición.

   Ciertamente, si la cubierta está abierta a nivel local es finito, entonces la misma suma es finita y tan trivialmente está bien definido.

2. En realidad no es necesario. La partición de la unidad no es único, incluso para fijo $U$, por lo que no tiene que ser cualquier particular relación entre (arbitraria) de las particiones de la unidad de los diferentes bloques abiertos. No hay ninguna necesidad de que el "acuerdo" diagrama en la primera condición de su definición, porque cada partición de la unidad restringe de forma evidente a los más pequeños bloques abiertos, y nosotros nunca realmente necesario "pegamento" de las particiones de la unidad, ya que podemos tomar $U$ ser arbitrariamente grande - de modo que si hacemos esto todo el espacio, por la restricción llegamos "a nivel mundial de acuerdo" en las particiones de la unidad, que nos puede hacer arbitrariamente bien.

   Así que, en realidad, no hay punto de tener la tapa de ser sólo en $U$ en lugar de $M$ en el primer lugar (y, de hecho, la mayoría de las definiciones de lo que puede encontrar en línea sólo se habla de $M$) - ¿está usted seguro de que $U$ no se refiere al conjunto de $\{U_i\}$ en la definición del lugar de su unión?

3. El apoyo de $\sigma$ es justo todo lo $p$ que $\sigma(p)\ne 0$.