¿La serie $\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\sin(n^3)}{\ln(n)}}$ convergen?

Question

¿Tiene alguna idea de si la serie $\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\sin(n^3)}{\ln(n)}}$ converge? Estoy totalmente perdido!

Answer 1

De forma heurística, no, pero no tengo una prueba. Al $n$ es grande, $\sin(n^3)$ debe comportarse esencialmente como independiente de números aleatorios en $[-1,1]$ con una cierta distribución simétrica. Ahora si $X_n$ son independientes de las variables aleatorias con media de $0$ y la varianza $\sigma^2 > 0$, $\sum_{n=2}^N X_n/\log(n)$ varianza $\sum_{n=2}^N \sigma^2/\log(n)^2$ que va a$\infty$$N \to \infty$.

Aquí está una parcela de las sumas parciales de la serie a a $N=20000$. No hay ninguna señal de convergencia.

{EDIT: nueva trama usar Dígitos=30]