Visualizar $z+\frac{1}{z} \ge 2$

Question

Como sabemos, siempre

$$z+\frac{1}{z} \ge 2,~~~~~~~~~ z\in \mathbb{R}^+$$

Sin embargo, hay alguna forma geométrica para visualizar esta ecuación para alguien que no es experto en matemáticas?

Sé que esta pregunta puede tener varias respuestas.

Answer 1

La Media Aritmética-Media Geométrica de la Desigualdad indica que, para cualquier valor no negativo números de $a$$b$,$AM := \dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} =: GM$.

Esto se puede visualizar de la siguiente manera:

Ahora, establezca $a = z$ $b = \dfrac{1}{z}$ a visualizar lo que quería.

Answer 2

Parcela de $xy = 1$$x+y = 2$.

Interpretar $x=z$ $y=1/z$ (lo que sólo puede sostener en el azul de la hipérbola). O viceversa. El hecho de que la trama es simétrico bajo el intercambio de $x$ $y$ es importante! (es decir, simétrico bajo reflejando a través de la línea de $x=y$)

Puede ayudar a conocer un poco más las líneas que representan cómo $x+y$ varía:

La línea roja $x+y=2$ es la línea más pequeña que todavía cumple con la hipérbola y la simetría hace que sea fácil encontrar el punto de intersección: es el punto donde $z = 1/z$.

Lo anterior supone que significa considerar sólo positivos $z$. Si usted permite negativo $z$, entonces se obtiene la misma imagen, pero se volcó en el tercer cuadrante. (y que corresponde al $z + 1/z \leq -2$)

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La rotación de la figura puede ser de ayuda, por lo que el $x+y$ a lo largo del eje vertical. Si usamos coordenadas $(u,v) = (x-y, x+y)$:

En la hipérbola, tenemos

$$ z = \frac{v \pm u}{2} \qquad \qquad \frac{1}{z} = \frac{v \mp u}{2} $$

(cualquiera de las opciones de la señal es buena; recuerde que la simetría!)

Es decir, la hipérbola es la ecuación

$$ \frac{v \pm u}{2} \cdot \frac{v \mp u}{2} = 1 $$

o, más sencillamente,

$$ v^2 = 4 + u^2 $$

Ahora incluso es algebraicamente obvio qué rango de valores de $v$ puede tomar, ya que $u^2$ puede ser cualquier (a) número no negativo!

Answer 3

Bueno, lo que usted escribió claramente no es cierto, sólo es cierto para $x\in (0,\infty)$.

Usted podría probar que el trazado de la función $x\mapsto x+\frac1x$ y ver que está siempre por encima de la $2$.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+z+%2B+1%2Fz

O, usted puede trazar $x\mapsto x$ $x\mapsto \frac1x$ y tratar de entender lo que está sucediendo en $(0,\infty)$. Es claro que usted sólo tiene que mirar en el intervalo de $(\frac12, 2)$, ya que la igualdad obviamente tiene fuera de ella.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x+y+1%2Fx+de+x%3D1%2F2+para+2

Ahora, en este gráfico, creo que es posible explicar lo que está sucediendo:

• Es claro que para $x=1$, la suma de las dos de la función es, precisamente,$1$.
• Si usted va a la derecha del punto de $x=1$, luego la parte inferior de la función $\frac1x$ está disminuyendo más lentamente que la función superior $x$ está aumentando, así, su suma será por encima de $2$, porque será $$(1 + \text{something}) + (1 - \text{something smaller}) = 2 + (\text{something} - \text{something smaller})$$ so it will be $2$ además de algo positivo.
• Si usted va a la izquierda del punto de $x=1$, luego la parte inferior de la función $x$ está disminuyendo más lentamente que la función superior $\frac1x$ está aumentando, así, su suma será por encima de $2$, porque va a ser $$(1 + \text{something}) + (1 - \text{something smaller}) = 2 + (\text{something} - \text{something smaller})$$ así que va a ser $2$ más algo positivo.

Answer 4

Para representar y=x+1/x solo cambian la y=1/x de la gráfica anterior/siguiente y=x línea y listo!

Aquí están las parcelas de y=x,y=1/x y y=x+1/x.La adición de los dos primeros gráficos le da la tercera.Supongo que se puede visualizar de forma gráfica" ahora. Por CIERTO, supongo que @Jimmy ha demostrado que el mejor método geométrico por ahí.

Answer 5

Para $z>0$, la derivada de la función $x(z)=z+1/z$ tiene el único cero en $1-1/z^2=0$ $z=1$ y la segunda derivada $2/z^3>0$, por lo que la función es convexa. Por lo tanto, es mínimo global es en$z=1$$x(1)=2$$x(z)\ge 2$.