demostrar $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\lt\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2$

Question

¿Cómo podemos demostrar que $$ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\lt\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2 $$

donde $a$ es cualquier valor distinto de $\bar{x}$, la media aritmética.

Mi Intento: $$ \sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)\lt\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_ia+a^2)\\\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\lt\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2a\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}a^2\\-2\bar{x}.n\bar{x}+n.\bar{x}^2\lt-2a.n\bar{x}+n.a^2\\-2\bar{x}^2+\bar{x}^2\lt-2a\bar{x}+a^2\\-\bar{x}^2\lt-2a\bar{x}+a^2 $$ Pero, ¿cómo puedo continuar o hay alguna manera mejor ?

Answer 1

considere la posibilidad de $$f(a) \equiv\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2 $$

así que $$f'(a) =-2\sum_{i=1}^{n}(x_i-a) =-2n(\bar x -a) $$ por lo $f(a)$ se minimiza cuando se $a=\bar x$

Answer 2

$\begin{array}\\ \sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2-\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 &=\sum_{i=1}^{n}((x_i-a)^2-(x_i-\bar{x})^2)\\ &=\sum_{i=1}^{n}((x_i-a)-(x_i-\bar{x}))((x_i-a)+(x_i-\bar{x}))\\ &=\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-a)(2x_i-(a+\bar{x}))\\ &=\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-a)(2x_i)-\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}-a)(a+\bar{x})\\ &=2(\bar{x}-a)\sum_{i=1}^{n}x_i-n(\bar{x}^2-a^2)\\ &=2(\bar{x}-a)n\bar{x}-n(\bar{x}^2-a^2)\\ &=2n\bar{x}^2-2an\bar{x}-n\bar{x}^2+na^2\\ &=n\bar{x}^2-2an\bar{x}+na^2\\ &=n(\bar{x}^2-2a\bar{x}+a^2)\\ &=n(\bar{x}-a)^2\\ &\ge 0\\ \end{array} $

con la igualdad sólo si $a = \bar{x}$.

Answer 3

Sería más sencillo pensar en esto como una función cuadrática de $a$: $$ f(a) = \sum_{i=1}^n (x_i-a)^2 = A^2 + B a + C, $$ donde $$ A = n, \quad B = -2 \sum_{i=1}^n x_i, \quad\text{y}\quad C = \sum_{i=1}^n x_i^2. $$ "Completar el cuadrado" muestra que, para $A > 0$ la parábola $f(a)$ es mínimo en $a = -B/(2A)$. Sustituyendo los valores por encima de los rendimientos de un mínimo en $a = \bar{x}$.

Answer 4

Factorizando la diferencia de cuadrados y tomando los medios (proporcional a las sumas de dinero),

$$\overline{(x_i-\overline x)^2-(x_i-a)^2}=\overline{(x_i-\overline x+x_i-a)}\overline{(a-\overline x)}=(\overline x-\overline x+\overline x-a)(a-\overline x)<0.$$

Answer 5

Una vez que haya recibido el último intequality, sólo tenga en cuenta que el $$-\bar{x}^2<-2a\bar{x}+a^2\iff \bar{x}^2 -2a\bar{x}+a^2\iff(\bar{x}-a)^2>0.$$