La comprensión de la Prueba de la Regla de L'Hospital

Question

El siguiente es un extracto de Bartle y Sorbete de Introducción al Análisis Real:

Bien. Estoy teniendo un poco de problemas en el seguimiento de esta prueba. ¿Qué es $c$ y por qué es en $(a,b)$? Lo que me confunde es que no hay ninguna referencia a cualquier $\delta$ ni ninguna referencia $x$ tal que $0 < x - a < \delta$. Ellos simplemente escribir $L - \epsilon \le \frac{f(\beta)}{g(\beta)} \le L + \epsilon$ y la afirmación de que la conclusión de la siguiente manera. Tengo la sospecha de que están usando la $\beta$ en lugar de $x$, pero este todavía no tiene en cuenta la ausencia de una $\delta$ y porqué $\beta$ no satisfacer $0 < \beta - a < \delta$.

En el segundo pensamiento, quizás $\beta$ $c$ tienen la intención de permanecer en la normalmente utilizada $x$$\delta$, respectivamente. Parece que lo que los autores han demostrado que por cada $\epsilon> 0$, existe un $c > 0$ que si $\beta$ satisface $a < \beta \le c$,$|\frac{f(\beta)}{g(\beta)} - L| \le \epsilon$. Incluso en esa interpretación, ¿por qué es $c$ (es decir, $\delta$)$(a,b)$? De hecho, si $a$ $b$ son negativos, esto no tiene mucho sentido...

EDITAR:

Bien. Creo que me siga lo que usted, @Jack, que están diciendo. Sin embargo, hay una última cosa que me da problemas. Justo antes de que la ecuación (2), los autores afirman que existe un determinado $u \in (\alpha, \beta)$ por el Valor medio de Cauchy teorema de tales que la ecuación (2) se mantiene. Ahora, en orden a válidamente sustituir esto en la desigualdad de abajo (2) para obtener la desigualdad (3), tenemos que específica $u$$(a,c)$, pero esto no ha sido demostrado. Todo lo que tenemos es que si $u \in (a,c)$ ,$L - \epsilon < \frac{f'(u)}{g'(u)} < L + \epsilon$, pero, ¿cómo sabemos que ese $u$, garantizado por el Valor medio de Cauchy teorema, cae en el intervalo de $(a,c)$?

Además, no parece que simplemente queremos asumir ese $\beta \in (a,b)$ pero $\beta$ es arbitrario en $(a,c)$, ¿verdad? O puede ser que no importa, ya que si tenemos "$\beta \in (a,b) \implies |\frac{f(\beta)}{g(\beta)} - L | <\epsilon$", entonces claramente "$\beta \in (a,c) \subseteq (a,b) \implies |\frac{f(\beta)}{g(\beta)} - L | < \epsilon$". Estoy pensando acerca de esto correctamente?

Answer 1

Recientemente he trabajado a través de este exacto de la prueba de Bartle del texto y con la misma confusión ya que @user193319. En particular, el orden de las variables fue inicialmente no estaba claro. Para mi propio beneficio, reescribí la prueba para el Caso (a) como aparece a continuación, y encontrado que es útil para mi entendimiento.

La prueba: La prueba se divide en cuatro partes como se indica en la siguiente figura.

Parte 1: Desde la definición de la mano derecha los límites de un número real y la suposición de que $\displaystyle{\!\lim_{x\rightarrow a+}\!f'(x)/g'(x)\!=\!L}$, dado cualquier $\varepsilon\!>\!0$ existe $\delta(\varepsilon/2)\!>\!0$ (obligando a $\delta\!<\!(b\!-\!a)$ y dejando $d\!\equiv\!a\!+\!\delta$) tal que: $$x\in(a,d)\subset(a,b)\ \longrightarrow\ L-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{f'(x)}{g'(x)}<L+\frac{\varepsilon}{2}.\qquad(Eq.\ 1)$$

Parte 2: a continuación, considere arbitraria $\alpha,\beta\!\in\!\mathbb{R}$ tal que $a\!<\!\alpha\!<\!\beta\!<\!d$. Debido a $f$ $g$ son diferenciables en a $[\alpha,\beta]\!\subset\!I$, son también continuas en $[\alpha,\beta]$ (Thm. 6.1.2 de Bartle (ed.4)). Por lo tanto, dada esta $\alpha,\beta$, se desprende del Valor medio de Cauchy Thm. (6.3.2 de Bartle) que exista $c$ $(\alpha,\beta)$ tal forma que: $$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)}.$$ Y debido a que $c\!\in\!(\alpha,\beta)\!\subset\!(a,d)$, se sigue a partir de la Eq. 1 material de la implicación de que: $$L-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)}<L+\frac{\varepsilon}{2}.\qquad(Eq.\ 2)$$

Parte 3: Considere la mano derecha de límite $\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow a+}}\!$ $\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)}$. Dada la hipótesis de que la $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+}\!\!f(x),g(x)\!=\!0}$, se sigue por el límite de propiedades (ver Thm. 4.2.4 de Bartle, que tiene un análogo de la propiedad de uno de los límites laterales) que este límite es igual a $f(\beta)/g(\beta)$. Por lo tanto, Bartle del Thm. 4.2.6 (que también tiene un resultado análogo para los límites laterales) aplicado a la Eq. 2 resultados en: $$L-\varepsilon<L-\frac{\varepsilon}{2}\leq\frac{f(\beta)}{g(\beta)}\leq L+\frac{\varepsilon}{2}<L+\varepsilon.\qquad(Eq.\ 3)$$

Parte 4: Para recapitular, dados cualesquiera $\varepsilon\!>\!0$ existe $\delta$ que define a $d$ tal que $\beta\!\in\!(a,d)$ implica Eq. 3. Se sigue directamente de la definición de la mano derecha de los límites que el límite del cociente $f(x)/g(x)$ $x$ enfoques $a+$$L$.

Answer 2

Bueno, es otra manera de escribir: uno podría dejar el $\delta=c-a$.

Uno puede escribir: no existe $\delta>0$ tal que para todos los $x\in(a,b)$$0<x-a<\delta$, algo es verdadero. O, alternativamente, existe $a<c<b$ tal que para todos los $x\in(a,c)$, algo es verdadero.

Son el mismo: tenga en cuenta que en el primer caso, "$x\in(a,b)$ $0<x-a<\delta$ " es el mismo que $x\in(a,a+\delta)$ suponiendo que $\delta>0$ no es muy grande, por lo que $a+\delta<b$.

---

[Añadido para la edición de preguntas y solicitud de comentario.] Estoy de acuerdo en que la exposición de la prueba es un poco confuso.

Tenga en cuenta que el pequeño argumento en el comienzo de la prueba (antes de "(a)") es verdadera para cualquier $\alpha$ $\beta$ tal que $a<\alpha<\beta<b$. Uno podría tomar esta parte como un lema. Ahora elija $c\in(a,b)$ tal que
$$ L-\epsilon<\frac{f'(u)}{g'(u)}< L+\epsilon\etiqueta{i} $$ es cierto para todos los $u\in(a,c)$. Ahora por esa pequeña lema, para cualquier $\alpha,\beta$ $a<\alpha<\beta\leq c$ , uno tiene (2)$u\in(\alpha,\beta)\subset(a,c)$. (Tenga en cuenta que para este tipo de $u$ (i) también es verdadera.) Por lo tanto se puede aplicar (i) junto con (2) para obtener (3).