Embeddedings $A → B → A$ pero $A \not\cong B$ ?

Question

¿Existen buenos ejemplos de estructuras (grupos, módulos, anillos, campos) $A$ y $B$ tal que existen incrustaciones $A B A$ mientras que $A \not\cong B$ ? Me gustaría especialmente ver un ejemplo para los módulos $A$ , $B$ . ¿O acaso es cierto que la existencia de tales incrustaciones implica $A \cong B$ ?

Antecedentes: Estoy corrigiendo ejercicios y quería dar un contraejemplo a un argumento que falla. (Bueno, no estoy seguro de que falle, pero estoy bastante seguro de que lo hace y no está suficientemente justificado al menos).

Answer 1

Módulos, anillos : $A=\Bbb Q^{\oplus\omega}$ , $B=A\oplus\Bbb Z$ . Para ver $A\not\cong B$ considerar la divisibilidad aditiva.

Campos : Para cada char $p\ge0$ y el cardenal $\kappa\ge{\frak c}$ existe un único campo algebraicamente cerrado de característica $p$ y la cardinalidad $\kappa$ . Si $F$ es un campo infinito entonces $|\overline{F}|=|F|$ . Dejemos que $F$ sea un campo algebraicamente cerrado de cardinalidad $|F|\ge{\frak c}$ . Entonces $\overline{F(T)}\cong F$ que da como resultado $F(T)\hookrightarrow F$ . De este modo, conseguimos una secuencia $F(T)\hookrightarrow F\hookrightarrow F(T)$ . Para ver por qué $F\not\cong F(T)$ , nota $F(T)$ no es algebraicamente cerrado.

Lineal (por lo tanto, rejilla, parcial) pedidos : $A=(0,1)$ , $B=[0,1)$ . Para ver $A\not\cong B$ considerar los mínimos.

Lo anterior es también un ejemplo para espacios topológicos : $B$ puede escribirse como una unión disjunta de un único conjunto y un subconjunto conexo, mientras que $A$ no puede.

Answer 2

Para los grupos, puede considerar $$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_4 \oplus \cdots \hookrightarrow \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_4 \oplus \cdots \hookrightarrow \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_4 \oplus \cdots.$$

No son isomorfos: en el segundo grupo, cualquier elemento de orden dos es divisible por 2.

Otro ejemplo, pero de generación finita, es (donde $\mathbb{F}_n$ denota el grupo libre de rango $n$ ): $$\mathbb{F}_2 \hookrightarrow \mathbb{F}_3 \hookrightarrow \mathbb{F}_2.$$

Véase, por ejemplo aquí para la existencia de los monomorfismos. Para demostrar que $\mathbb{F}_2$ y $\mathbb{F}_3$ no son isomorfas, observe que sus abelianizaciones son respectivamente $\mathbb{Z}^2$ y $\mathbb{Z}^3$ .

Answer 3

Formas a escala: un triángulo se incrusta en un cuadrado que se incrusta en un triángulo mayor.