Pregunta principal: Deje $a_n \geq 0$$b_n = \sum_{k=1}^n a_k \uparrow \infty$. Es cierto que $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{b_n^2} < \infty \,? $$
Tengo la fuerte sospecha de que hay un cortocircuito, mancha de la prueba de que no estoy viendo o un simple contraejemplo me he perdido.
Un poco de motivación. Deje $X_1,X_2,\ldots$ ser independiente de Poisson variables aleatorias donde $X_n$ es decir $a_n$$S_n = X_1 + \cdots + X_n$. Si $\sum_n a_n = \infty$, entonces es trivial comprobar que $S_n/b_n \to 1$ $L_2$ y así, también, en la probabilidad. Estoy bastante seguro de que este resultado se debe también llevar a cabo casi seguramente. ($S_n$ es de Poisson con una divergentes decir.) Una manera de ir sobre la que podría ser la utilización de la prueba de Kolmogorov del criterio de convergencia en concierto con Kronecker el lema de modo que si $$ \sum_{n=1}^\infty \text{var}(S_n/b_n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{b_n^2} < \infty $$ entonces casi seguro de convergencia podría seguir.
Trivial límites no funcionan, pero hay algo de esperanza. Claramente $a_n / b_n \leq 1$ uniformemente en $n$, pero este crudo delimitador no es suficiente para afirmar el resultado deseado. Por ejemplo, $a_n = 1$ muestra que $\sum_n a_n/b_n^2 < \infty$, pero, por supuesto, $\sum_n b_n^{-1} = \infty$. Por lo tanto, necesitamos algo más fuerte que esto.
Por otro lado, vamos a $a_n = (n \log n)^{-1}$, que está justo en el límite de la divergencia, es decir, $\sum_n a_n = \infty$ según sea necesario, pero si reemplazamos el exponente con $-(1+\delta)$ cualquier $\delta > 0$, entonces se podría converger. Sin embargo, en la $a_n = (n\log n)^{-1}$ caso tenemos $$ b_n \approx \int_e^n \frac{\mathrm d x}{x \log x} = \log \log n $$ así que $$ \sum_n \frac{a_n}{b_n^2} \leq C \sum_n \frac{1}{n \log n (\log \log n)^2} < \infty \,. $$
Este mismo argumento funciona si se introduce más iterada de registro de términos en la definición de $a_n$. Por otra parte, es claro que si $\sum_n a_n < \infty$,$\sum_n a_n/b_n^2 < \infty$.
Y, que me trae de vuelta a la pregunta principal.
