Me enteré de la siguiente fórmula a partir de un análisis numérico libro, $$ \begin{align} \frac{\nu\sin x}{(1-\nu)+\nu\cos x}&=\nu(x-\frac{1}{6}x^3+\cdots)(1-\frac{1}{2}\nu x^2+\cdots)^{-1}\\ &=\nu x-\frac{1}{6}\nu(1-3\nu)x^3+\cdots \end{align} $$ Este tipo de manipulación es muy común en el análisis numérico. ¿Cómo puedo obtener la última igualdad? Porque el orden es de menor a mayor, no tengo idea de cómo utilizar el polinomio de la división larga en este caso.
Respuesta
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Usted no necesita hacer cualquier división para este tipo de cosas. Todo lo que necesitas es $\frac1{1-x}=1+x+x^2+\dotso$
En su caso, desea que el resultado de hasta tercer orden en la $x$, así expandir todo, hasta de tercer orden:
$$ \frac{\nu\sin x}{(1-\nu)+\nu\cos x}=\frac{\nu\left(x-\frac16x^3+O(x^5)\right)}{1-\frac12\nu x^2+O(x^4)}\;. $$
Ahora con $u = \frac12\nu x^2-O(x^4)$,
$$\frac1{1-\frac12\nu x^2+O(x^4)}=\frac1{1-u}=1+u+u^2+\dotso=1+\frac12\nu x^2+O(x^4)\;,$$
y así
$$ \begin{eqnarray} \frac{\nu\left(x-\frac16x^3+O(x^5)\right)}{1-\frac12\nu x^2+O(x^4)} &=& \nu\left(x-\frac16x^3+O(x^5)\right)\left(1+\frac12\nu x^2+O(x^4)\right) \\ &=&\nu x+\left(\frac12\nu^2-\frac16\nu\right)x^3+O(x^5) \;. \end{eqnarray} $$
