¿Cuántos números de entre $0$ $999,999$ existen cuyos dígitos suma a $r$

Question

¿Cuántos números de entre $0$ $999,999$ existen cuyos dígitos suma a $r$

En la generación de una función para encontrar la respuesta, aquí está lo que me llegó.

Tenemos un máximo de 6 ranuras de número a utilizar para sumar a r.

A continuación, $e_1 + e_2 + e_3 + e_4 + e_5 + e_6 = r$

Y puesto que cada ranura tiene la capacidad de ser un número entre el$0$$9$,$e_i = (1 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9) $,

y la generación de la función es, por tanto,$(1 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9)^6$.

Tengo la generación de esta función correcta?

Answer 1

Nota: Su etimología de la generación de la función es perfectamente válido.

La generación de la función tiene la siguiente representación \begin{align*} (1+x^1+x^2+\cdots+x^9)^6&=\left(\sum_{j=0}^9x^j\right)^6\\ &=\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^6\\ &=1+6x+21x^2+56x^3+126x^4+252x^5+\cdots \end{align*}

Los exponentes de los términos varían de $0$ que corresponde a la más pequeña suma de dígitos $r=0$ y el número de $0$ $54$ que corresponde a la mayor suma de dígitos $r=54$ y el número de $999999$.

Calculamos el coeficiente de $x^r$ de la generación de la serie. Para ello utilizamos el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ de una serie.

Obtenemos para $0\leq r\leq 54$ \begin{align*} [x^r]\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^6 &=[x^r](1-x^{10})^6\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-6}{k}(-x)^k\tag{1}\\ &=[x^r]\sum_{j=0}^{6}\binom{6}{j}(-1)^jx^{10j}\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+5}{5}x^k\tag{2}\\ &=\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{r}{10}\rfloor}\binom{6}{j}(-1)^j[x^{r-10j}]\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+5}{5}x^k\tag{3}\\ &=\sum_{j=0}^{\lfloor\frac{r}{10}\rfloor}(-1)^j\binom{6}{j}\binom{r-10j+5}{5} \end{align*}

Comentario:

• En (1) podemos utilizar el binomio de la serie representación

• En (2) expandir la izquierda binom y uso de la identidad $\binom{-n}{k}=\binom{n+k-1}{k}(-1)^k$

• En (3) se utiliza la regla de $[x^{r+s}]A(x)=[x^r]x^{-s}A(x)$ y mantener la atención del límite superior de la suma para no añadir nada al $r-10j<0$.