Para una función integrable $f$ ¿las condiciones de continuidad de su integral afectan a la continuidad de $f$ ?

Question

En esta pregunta, siempre que digo "integrable" me refiero a "Riemann-integrable".

El (primer) teorema fundamental del cálculo dice:

si $f\in C[a,b]$ entonces la función $F(x)=\int_a^x f(t)\, dt$ es continua en $[a,b]$ , diferenciable en $(a,b)$ y $F'(x)=f(x)$ en $(a,b)$ .

Ahora bien, una (¿o especie?) de conversación sería la siguiente:

si $f$ es una función integrable en $[a,b]$ tal que la función $F(x)=\int_a^x f(t)\, dt$ es $C^1[a,b]$ entonces $f$ es continua.

Esto no es cierto, como dicen las respuestas de abajo, basta con alterar una función continua sobre un punto, lo que no altera la $C^1$ -de su integral.

Ahora pregunto esto: ¿son estos todo ¿los contraejemplos? ¿Existe un contraejemplo que no sea de este tipo, es decir, una función continua salvo una discontinuidad removible?

Para aclarar: una función $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ se dice que tiene un discontinuidad removible en un punto $c\in [a,b]$ si ambos límites unilaterales (o el que se defina, en caso de $a$ o $b$ ) existen y son iguales.

Answer 1

Editar: Entendí la integrabilidad en el sentido de Lebesgue. La primera parte más larga es la respuesta original.

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Reorganizo mi respuesta ya que estoy un poco confundido con la pregunta real, que parece ser:

Si $F(t) = \int_{a}^{t} f(x)\,dx$ es un $C^1$ -es entonces cierto que $f$ es continua?

La respuesta a esta pregunta es no ya que siempre podemos modificar $f$ en un conjunto nulo sin cambiar $F$ . La función característica de $\mathbb{Q}$ por ejemplo, es en ninguna parte continua pero su integral es cero en cada intervalo. Se trata de verdaderas discontinuidades, no sólo de las removibles.

La cuestión es que $f$ está completamente indeterminado en esta cuestión. Cualquier modificación de $f$ en un conjunto nulo producirá el mismo $F$ Por lo tanto, no podemos esperar más que $F' = f$ casi en todas partes. Sorprendentemente, esto resulta ser cierto.

La pregunta correcta fue respondida por Lebesgue. El punto de partida es que para una función integrable $f$ su integral definida $F$ siempre será absolutamente continua . El Teorema de diferenciación de Lebesgue incluso nos dice que $F$ es diferenciable en casi todas partes y $F' = f$ casi en todas partes.

Lebesgue demostró aún más:

Supongamos que $F$ es diferenciable en casi todas partes. Para que $F$ para ser la integral definida de su derivada es necesario y suficiente que $F$ sea absolutamente continua.

Esto se demuestra en cualquier texto decente sobre teoría de la medida, por ejemplo, Royden o Rudin.

Por otro lado, Teorema de Luzin implica que un medible $f$ es continua en el complemento en un conjunto de medida arbitrariamente pequeña.

Hay un punto más que debes tener en cuenta: Si $F$ es continua y diferenciable en casi todas partes y $F' = 0$ dondequiera que se defina, entonces $F$ puede ser no-constante, incluso monótona. el ejemplo estándar para esto se llama la función de Cantor-Lebesgue, o más colorido la escalera del diablo .

Por último, me gustaría señalar que es un un negocio terriblemente sutil para caracterizar las funciones que son derivadas de funciones diferenciables en todas partes.

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Añadido:

Robert Israel dejó el siguiente comentario a esta respuesta (¡muchas gracias por ello!):

Según el criterio de Lebesgue, una función es integrable de Riemann en $[a,b]$ si [y sólo si] es continua en casi todas partes y acotada. Para mantener la continuidad en casi todas partes en el contraejemplo, el conjunto sobre el que se modifica $f$ puede ser un conjunto cerrado de medida $0$ por ejemplo, un Conjunto Cantor .

Lo único que me gustaría añadir es:

El criterio de Lebesgue es en realidad el criterio de Riemann

véase Sobre la representabilidad de una función por una serie trigonométrica (1854). Más concretamente, el pasaje relevante es la sección 5 de las páginas 226 y 227 de la obra de Bernhard Riemann Colección de obras matemáticas y patrimonio científico .

(Sugerencia para Roy Smith y Pete L. Clark)

Answer 2

La conclusión real es que $f$ es igual en casi todas partes (es decir, excepto en un conjunto de medida de Lebesgue 0) a una función continua, a saber $F'$ .

Answer 3

Contraejemplo: Definir $f$ por $f(x)=0$ si $x \in [0,c)$ , $f(c)=1$ , $f(x)=0$ si $x \in (c,b]$ . Entonces $f$ es integrable, no continua, y $F$ es idéntico a cero (por lo tanto, en particular, suave).

EDIT: Como un interesante contraejemplo, dejemos que $f$ sea la función considerada aquí .

Elaborando: La función $f$ definida en el enlace anterior es continua en $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ (es decir, los irracionales) y discontinua en $\mathbb{Q}$ (es decir, los racionales). Dado que $f$ es cero en $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ , $F$ es idéntico a cero (en particular, suave). Así que este es un contraejemplo con $f$ siendo discontinua en un conjunto denso y, además, integrable de Riemann.

EDITAR (más detalles). La función mencionada se conoce como La función de Thomae . Por conveniencia, considere su restricción a $[0,1]$ (todavía se denota $f$ ). Dado que $f$ está acotado en $[0,1]$ y su conjunto de discontinuidades (es contable y por tanto) tiene medida $0$ , $f$ es integrable de Riemann. El hecho de que su integral $F(x)=\int_0^x {f(t)\,dt}$ es idénticamente cero en $[0,1]$ está claro en la imagen (que aparece en el enlace de Wikipedia). Esto también se deduce del hecho de que si una función es integrable (propiamente dicha) de Riemann, entonces también es integrable de Lebesgue y ambas integrales coinciden; de hecho, esta última puede calcularse de la siguiente manera: $$ \int_{[0,x]} {f(t)\,dt} = \int_{[0,x] - \mathbb{Q}} {f(t)\,dt} + \int_{[0,x] \cap \mathbb{Q}} {f(t)\,dt} = \int_{[0,x] - \mathbb{Q}} {0\,dt} + 0 = 0, $$ desde $[0,x] \cap \mathbb{Q}$ tiene medida $0$ . Este ejemplo (estándar) de $f$ es especialmente apropiado en este caso, porque $f$ es discontinua en un subconjunto denso de su dominio.

Answer 4

La respuesta es "no" .

Tome cualquier función continua $f$ y luego alterar sus valores en algún conjunto nulo. Entonces puede tener incontables discontinuidades, y la igualdad de la integral se mantendrá. (Ya que era un conjunto nulo)

Answer 5

En la teoría de la integración de Henstock-Kurzweil aparece un tipo de inversión agradable pero diferente:

Si $F$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ entonces la derivada $f=F'$ es necesariamente integrable por Henstock-Kurzweil en $[a,b]$ y $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ para todos $x$ en $[a,b]$ .

Este teorema también es muy fácil de demostrar. Una buena fuente para esto es un libro reciente de Yee y Vyborny .