He estado trabajando en este problema por un tiempo y su darme un sin fin de problemas! La pregunta es esta: Supongamos que tenemos 2k cubos, numeradas de la 1 a 2k. Tiramos x negro y bolas y bolas blancas, al azar, hacia los cubos. Una bola negra tiene el doble de probabilidad de aterrizaje en un extraño cubo como el aterrizaje en un uno, y una bola blanca tiene el doble de probabilidad de aterrizaje en un cubo como el aterrizaje en un extraño. Aparte de esto, las posibilidades de que la bola caiga en una cubeta está uniformemente distribuida (es decir, una bola negra es igual de probable que la tierra en la cubeta 1 como balde de 15, etc). Estoy tratando de calcular $E(z)$ $Var(z)$ donde $z$ es el número de cubos que tienen al menos una bola en ellos.
A mí me parece que puede ser más fácil mirar la posibilidad de que la cubeta que está vacía, como sigue:
Pr(cubeta que está vacía|cubo es impar) = $(\frac{3k-2}{3k})^x(\frac{3k-1}{3k})^y$,
y Pr(cubeta que está vacía|cubo es aún) = $(\frac{3k-2}{3k})^y(\frac{3k-1}{3k})^x$.
Si dejamos $Z_i$ es igual a 1 si la papelera está vacía y 0 en caso contrario, nuestro valor esperado debe ser $((\frac{3k-2}{3k})^x(\frac{3k-1}{3k})^y)\cdot k$ $+$ $((\frac{3k-2}{3k})^y(\frac{3k-1}{3k})^x)\cdot k$.
Esta expresión parece muy difícil de manejar, sin embargo, y para calcular la varianza y la covarianza con esto parece una tarea casi insuperable - voy a hacer acerca de esto en una incorrecta de la moda? Muchas gracias por tu ayuda!
Edit: Intentar seguir este camino, en algunos temas?
Si yo estoy de acuerdo con esto, estoy en busca de $\sum E(z_i^2) + \sum\sum_{i\neq j}E(z_iz_j)+E(z)^2$, donde el primer sumando es igual a $\sum E(z_i)$, ya que el $z$ toma los valores 1 o 0. Hay cuatro casos para la covarianza plazo en el medio: i es impar, j es impar; i es impar, j; i es par, j es impar; i es par, j es par. Si i y j son ambos pares o impares, hay $k^2$ posibilidades para [extraño] y [aún]. De lo contrario, no se $k^2-k$ de posibilidades para cada caso.
Así que tengo que calcular las probabilidades de los cuatro casos:
1.) Da: i es impar, j es impar Pr(sin bolas en i)$x$Pr(sin bolas en j|pelotas en i):
$\large (k^2-k)*((\frac{3k-2}{3k})^x\cdot (\frac{3k-1}{3k})^y\cdot (\frac{3k-4}{3k-2})^x\cdot (\frac{3k-2}{3k-1})^y)$
La primera mitad de la expresión no es más que la probabilidad de que nadie se fuera al piso que yo. La segunda mitad, es necesario tener en cuenta que uno de los extraños cubos no tienen las bolas.
El resto de los casos es básicamente el mismo, con ajustes menores. Suponiendo que esto es correcto, yo solo intente enchufar en estas expresiones de la varianza de la expresión anterior y hacer mi mejor esfuerzo para simplificar?
gracias por la ayuda!
