Tengo la duda de en qué marco de referencia se encuentra el Ecuación de Schrödinger está escrito? Creo que es inercial pero no puedo razonarlo.
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WetSavannaAnimal aka Rod Vance
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Me gustaría añadir al comentario de Michael Brown que "puedes escribir la ecuación de Schrödinger en el marco que quieras": es literalmente cierto y la ecuación de Schrödinger tiene un significado mucho más básico que los marcos de referencia y demás. Como dicen Trimok y Michael Brown, la ecuación de Schrödinger para ciertos sistemas físicos sí depende del marco, si es que la transformación entre marcos de referencia tiene sentido para el sistema físico considerado, pero su "forma" fundamental es siempre la misma, como se comenta a continuación. En realidad, hay que especificar una recopilación de información bastante desconcertante sobre el escenario en el que se realiza la mecánica cuántica para dar una descripción completa: "imágenes" (ya sean "Schrödinger" o "Heisenberg" o "Interacción" o de otro tipo), "coordenadas" o "espacio" (ya sea "posición" o "momento", etc.) y, si es siquiera relevante, el marco de referencia en ese espacio. Esta información no siempre está del todo clara en una discusión y las especificaciones pueden ser descuidadas (especialmente, por desgracia, en algunos textos elementales), así que tu pregunta es buena.
La ecuación de Schrödinger es simplemente la ecuación diferencial de primer orden que describe la evolución temporal de un "vector", que representa el estado del sistema cuántico, en algún espacio de Hilbert. Ese estado puede representar cualquier cosa, no tiene que tener nada que ver con posiciones o movimientos en el espacio. Por ejemplo, si quiero hacer un modelo cuántico de un circuito resonante inductor-capacitor, acabaría describiendo el estado del sistema como una secuencia discreta de números complejos $\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$ , de tal manera que $\sum_j |\psi_j|^2 = 1$ . $\psi_0$ es la amplitud de probabilidad de que el sistema se encuentre en su estado básico cuántico, es decir, lo más cerca que se puede estar de "no energizado" sin violar la desigualdad de Heisenberg, $\psi_1$ la amplitud de probabilidad de que el oscilador se encuentre en un estado de un fotón, es decir, su energía es $\frac{\hbar}{\sqrt{L\,C}}$ , $\psi_2$ la amplitud que es el estado de dos fotones, y en general $\psi_N$ la actitud que hay en un $N$ -estado de los fotones; o, si se quiere, la amplitud que ha tenido $N$ -fotones añadidos a su estado básico desde algún lugar fuera del sistema oscilante. En este circuito resonante cuantificado, las posiciones espaciales son irrelevantes. El "marco de referencia" no tiene ningún significado aquí. Naturalmente, aquí la inductancia y la capacitancia son respectivamente $L$ y $C$ .
La ecuación de Schrödinger es muy general: simplemente dice que la composición y el funcionamiento de un sistema cuántico es en cierto modo "constante" cuando el sistema se separa del resto del mundo. Esta vaga afirmación tiene más sentido en los símbolos: la descripción matemática tiene que ser invariante con respecto a los cambios de tiempo: si empiezo con un estado cuántico a las 12 y lo evoluciono hasta la 1, entonces la evolución de mi estado va a ser la misma que si empiezo con el mismo estado a las 4 y espero hasta las 5. Ahora, asumimos linealidad, de modo que nuestro vector de estado (ahora escrito como un vector columna) va a evolucionar siguiendo alguna ecuación matricial: $\psi(t) = U(t) \psi(0)$ donde la matriz de transición de estados $U(t)$ debe:
- Cumplir con $U(t+s) = U(t) U(s) = U(s) U(t)$ para cualquier intervalo de tiempo $t$ y $s$ . Esto no es más que nuestra discusión sobre la invariabilidad del desplazamiento temporal anterior. De inmediato sabemos que $U(t) = \exp(A t)$ para alguna matriz constante $A$ ya que la exponencial es la única función continua con esta propiedad de invariabilidad temporal;
- Debe ser unitaria: esto significa que debe conservar las normas, de modo que $\sum_j |\psi_j|^2 = 1$ se mantiene en todo momento: esto simplemente dice que el sistema tiene que estar en algunos estado, debido a la interpretación probabilística de las magnitudes al cuadrado.
Así que la evolución del estado más general posible es $\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$ , donde $\hat{H}$ es una matriz constante y hermitiana (esto equivale a la afirmación de unicidad). Esto a su vez equivale a:
$i\,\hbar\,\mathrm{d}_t \psi = \hat{H}\,\psi$
que es la ecuación de Schrödinger (véase la nota a pie de página sobre las misteriosas constantes $\hbar$ y $i$ ). Es de esperar que la naturaleza esencial de la ecuación de Schrödinger quede ahora clara:
La ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico afirma la invariabilidad temporal del sistema cuando éste se separa del resto del mundo.
Se trata ni más ni menos que de esta idea, que ya ves que es mucho más básica e independiente de las "coordenadas" o de los "marcos de referencia" (si es que estos últimos tienen sentido). Como puedes ver no he dicho nada sobre el espacio, y mucho menos sobre los marcos de referencia. Diferentes coordenadas y marcos de referencia dan lugar a diferentes matrices constantes $\hat{H}$ pero todas son constantes y todas son hermitianas: daré algunos ejemplos cuando vuelva al ejemplo del inductor-condensador a continuación.
La ecuación de Schrödinger no es la única forma de hacer la afirmación anterior de la invariabilidad del desplazamiento temporal, lo que me lleva a la discusión de los "cuadros", a veces, muy poco útiles, llamados "marcos" o "encuadres". Lo que podría estar pensando cuando dice "marco" es que a veces es más fácil analizar la evolución de un sistema en lo que se llama la imagen de Heisenberg. En la mecánica cuántica lo único "real" son las mediciones, representadas por observables, que son matrices hermitianas (operadores). Por tanto, las únicas cantidades "reales" son los momentos de la distribución de probabilidad de la cantidad medida: si la cantidad es medida por un observable $\hat{M}$ entonces el enésimo momento de la distribución de probabilidad para el valor de esa medida cuando el estado del sistema es $\psi$ es $\psi^\dagger \hat{M}^n\psi$ en notación matricial, o en notación bra-ket $\left<\psi|\hat{M}^n|\psi\right>$ . Se puede pensar que el estado de un sistema es constante cuando el sistema está aislado y que los propios observables evolucionan en el tiempo. Dado que sólo importan las mediciones, esto es totalmente aceptable siempre que los valores de las mediciones no cambien: la medición evoluciona con la derivada del primer tiempo $\mathrm{d}_t\left<\psi|\hat{M}^n|\psi\right>$ y, si utilizamos la regla de Leibniz y añadimos la evolución temporal de $\psi$ descrito por la ecuación de Schrödinger obtenemos:
$\mathrm{d}_t \psi^\dagger \hat{M} \psi = \frac{i}{\hbar} \psi^\dagger [\hat{H}, \hat{M}]\psi $
Ahora puedes ver que las mediciones evolucionarán exactamente igual que si el sistema evolucionara como describe la ecuación de Schrödinger si pensamos en el estado $\psi$ como constante y si los observables, en cambio, evolucionan de la siguiente manera:
$\mathrm{d}_t \hat{M} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{M}]$
Esta es la ecuación de movimiento para un observable en la imagen ("marco") de Heisenberg. Estoy bastante seguro de que en alguna parte Feynman dijo que la imagen de Heisenberg es como hacer mecánica cuántica en un marco giratorio en su serie de conferencias. Por supuesto, está siendo metafórico. También hay que tener en cuenta que, como queremos que la ecuación de Heisenberg se cumpla para cualquier observable, su forma es muy limitada. En particular, la operación de la derecha tiene que ser una derivación (algo que cumple la regla del producto de Leibnitz, que es el corchete de Lie) de modo que si los observables $\hat{A}$ y $\hat{B}$ cumplen la ecuación de Heisenberg, también lo hacen $\hat{A}^n$ , $\hat{B}^n$ y $i [\hat{A}, \hat{B}]$ que también pueden ser observables (hermitianos).
Ahora bien, si estás pensando en observables de posición, entonces cuando uno resuelve la ecuación de Schrödinger para, digamos, el átomo de hidrógeno, uno siempre se sitúa en un marco estacionario respecto al átomo de hidrógeno. A menudo se considera que las fuerzas de inercia son totalmente despreciables si un sistema tan pequeño resulta estar acelerando, pero véase el artículo que ha citado @Trimok.
Especialmente de la ecuación de Heisenberg, se puede ver fácilmente que cualquier observable que conmuta con la matriz constante $\hat{H}$ define un observable cuyas medidas son constantes con el tiempo. Así que $\hat{H}$ se supone que es el energía observable, ya que en la física clásica la energía es la "corriente" conservada que corresponde, por el teorema de Noether, a la invariancia con respecto a los desplazamientos del tiempo.
El teorema Stone-von Neumann tiene más que decir sobre la equivalencia unitaria entre las imágenes de Heisenberg y Schrödinger.
En aras de la exhaustividad, y para dar una idea de cuántas posibilidades hay para la ecuación de Schrödinger, volvamos a nuestro ejemplo de circuito resonante inductor-capacitor (he tomado este ejemplo poco usual, pero deliciosamente sencillo, de un sistema a cuantificar de un libro poco conocido de Dietrich Marcuse (ex de los Laboratorios Bell), "Engineering Quantum Electrodynamics"). Por supuesto, se ha elegido deliberadamente como un sistema físico para el que el "marco de referencia" espacial no tiene ningún significado.
Para las convenciones de signo de la tensión y la corriente mostradas en el dibujo de nuestro circuito LC Tank, las ecuaciones clásicas de evolución del estado son:
$\mathrm{d}_t\left(\begin{array}{c}V\\I\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&C^{-1}\\-L^{-1}&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}V\\I\end{array}\right);\quad H = \frac{1}{2}\,L\,I^2 + \frac{1}{2}\,C\,V^2$
que son totalmente análogas a las de una masa oscilante $m$ en un muelle con constante de muelle $k = m\,\omega_0^2$ :
$\mathrm{d}_t\left(\begin{array}{c}x\\p\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&m^{-1}\\-k&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\p\end{array}\right);\quad H = \frac{p^2}{2\,m} + \frac{1}{2}\,k\,x^2$
cuando $x$ y $p$ representan la posición y el momento lineal de la masa, respectivamente. Aquí $H$ es el Hamiltoniano clásico (energía total). Para abreviar, podemos cuantificar este sistema transfiriendo los resultados conocidos para el oscilador armónico cuántico. En energía o, de forma equivalente, coordenadas del número de fotones el estado del sistema es el discreto normalizado $\ell^2$ secuencia $\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$ de la que hablé al principio, con la interpretación que $\psi_n$ es la amplitud de la probabilidad de que el sistema haya sido elevado por $n$ quantum de energía iguales $\hbar\,\omega_0$ desde el estado de reposo. La ecuación de Schrödinger se define como arriba con la matriz cuadrada contablemente infinita $\hat{H} =\frac{\hbar\,\omega_0}{2} I + \hbar\,\omega_0\,\mathrm{diag}\left(0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\right)$ donde aquí $I$ representa el operador de identidad y $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}$ . Los dos observables conjugados (es decir, que cumplen las relaciones canónicas de conmutación), que representan en el sentido hablado anteriormente, las mediciones físicas sobre el sistema son los observables de tensión y corriente, respectivamente:
$\hat{V} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\,C\,\sqrt{L\,C}}}\left(A^\dagger + A\right);\quad \hat{I} = i\,\sqrt{\frac{\hbar}{2\,L\,\sqrt{L\,C}}}\left(A^\dagger - A\right)$
donde:
$A = \left(\begin{array}{cccc}0&0&0&\cdots\\\sqrt{1}&0&0&\cdots\\0&\sqrt{2}&0&\cdots\\0&0&\sqrt{3}&\cdots\\\cdots\end{array}\right);\quad A^\dagger = \left(\begin{array}{cccccc}0&\sqrt{1}&0&0&0&\cdots\\0&0&\sqrt{2}&0&0&\cdots\\0&0&0&\sqrt{3}&0&\cdots\\0&0&0&0&\sqrt{4}&\cdots\\\cdots\end{array}\right)$
y la relación de conmutación canónica es:
$\left[\hat{V},\,\hat{I}\right] = \frac{i\,\hbar}{\sqrt{L\,C\,\sqrt{L\,C}}}\,I$
En estas coordenadas energéticas el vector de estado es una secuencia discreta, todos los observables son matrices discretas (aunque infinitas) y la solución de la ecuación de Schrödinger es bastante sencilla, a saber:
$\Psi = \mathrm{diag}\left(e^{-i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_0(0),\,e^{-3\,i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_1(0),\,e^{-5\,i\,\omega_0\,\frac{t}{2}}\,\psi_2(0),\,\cdots\right)$
Se puede definir el oscilador armónico cuántico y sus observables para ser un sistema cuántico con dos observables que (i) cumplen con una relación de conmutación canónica y (ii) producen mediciones con valores esperados (medios) de tiempo armónico. Con un poco de trabajo se puede demostrar que esta definición únicamente define el sistema cuántico dentro del espacio energético $\hbar\,\omega_0$ entre su espectro energético discreto y uniformemente espaciado (el hecho de un espectro discreto y uniformemente espaciado también se desprende de la definición que acabamos de dar y no es necesario suponerlo). Los espectros de las variables conjugadas de voltaje y corriente son ambos continuos, y ahora uno puede hacer el "procedimiento del operador escalera" de Dirac hacia atrás y encontrar un sistema de coordenadas donde el observable de voltaje toma la forma simple $\hat{V} \Psi(v, \,t) = v\, \Psi(v,\,t)$ y el observable actual es $\hat{I} \Psi(v, \,t)= -i\,\frac{\hbar}{L\,C}\,\partial_v \Psi(v,\,t)$ . Este procedimiento no es en realidad trivial (bueno, no para mí, al menos) y la respuesta es que el hamiltoniano es ahora el operador continuo más complicado, pero más ganado, y la ecuación de Schrödinger completa:
$i\,\hbar\,\partial_t \Psi(v, \,t) = \frac{1}{2}\left(C\,v^2 - \frac{\hbar^2}{L\,C^2} \partial_v^2\right) \Psi(v, \,t)$
$\Psi(v, \,t)$ es ahora la amplitud de probabilidad de medir la tensión $v$ a través del circuito del depósito en el momento $t$ . Además, se puede transformar la línea de coordenadas de la tensión con una transformada de Fourier unidimensional y continua para llegar a un nuevo sistema de coordenadas (análogo al espacio del momento para una masa armónica cuantificada en un oscilador de muelle) en el que el observable de la corriente adopta la forma particularmente simple $\hat{I} \Psi(\iota, \,t) = \iota \Psi(\iota, \,t)$ y en el que la tensión observable es ahora $\hat{V} \Psi(\iota, \,t) = i\,\frac{L\,C}{\hbar} \partial_\iota\Psi(\iota, \,t) $ y la ecuación completa de Schrödinger es ahora:
$i\,\hbar\,\partial_t \Psi(\iota, \,t) = \frac{1}{2}\left(L\,\iota^2 - \frac{L^2\,C^3}{\hbar^2} \partial_\iota^2\right) \Psi(\iota, \,t)$
$\Psi(\iota, \,t)$ es ahora la amplitud de probabilidad de medir la corriente $\iota$ a través del circuito del tanque en el momento $t$ . Como se puede ver en el ejemplo anterior, en el que los marcos de referencia de espacio y tiempo no tienen relevancia, se puede utilizar un gran número de sistemas de coordenadas diferentes para la ecuación de Schrödinger.
Digo más sobre el teorema de unicidad que acabamos de citar y el procedimiento de Dirac al revés en la referencia Journal Optical Society of America B/Vol. 24, No. 4/ Abril 2007 p 928.
Nota a pie de página sobre las constantes en la ecuación de Schrödinger: Para los propósitos de esta respuesta, uno puede pensar simplemente en la misteriosa constante $\hbar$ es sólo una constante arbitraria que he sacado de la matriz constante - también mantiene el argumento de la exponencial sin dimensiones al tener $[\hbar] = J\,s$ como sus unidades del SI porque resulta que $\hat{H}$ tiene unidades de energía. $i$ también es algo arbitrario: hace que los observables (véase más adelante) sean hermitianos, en lugar de sesgados-hermitianos, y hace que las mediciones derivadas de esos observables sean reales, en lugar de puramente imaginarias, como lo serían si los observables fueran sesgados-hermitianos, como les parecería más natural a muchos matemáticos que piensan en observables que pertenecen al álgebra de Lie del grupo de matrices unitarias de transición de estado. Pero, en principio (algo torpe), $i$ podría eliminarse, y el sistema de unidades puede redefinirse para hacer $\hbar = 1$ (esto último se hace en la práctica en unidades "Planck").
