Prueba de que $\forall x\in (0,\frac{1}{e}),(x^x >e^\frac{-1}{e})$

Question

Dejemos que $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}:x\mapsto x^x$

Demuestra, utilizando el teorema del valor medio, que: $$\forall x\in (0,\frac{1}{e}),(f(x) >e^\frac{-1}{e})$$

Teorema del valor medio Dejemos que $f$ sea una función continua sobre $[a,b]$ que es diferenciable en $(a,b)$ . Entonces existe [al menos una] $x$ en $(a,b)$ tal que

$$f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Creo que puedo demostrar que $f$ es continua en $[0,\frac{1}{e}]$ y diferenciable en $(0,\frac{1}{e})$ . Por el teorema del valor medio: $$\exists x\in (0,\frac{1}{e}),f'(x)=\frac{f(\frac{1}{e})-f(0)}{\frac{1}{e}-0}=\frac{(\frac{1}{e})^\frac{1}{e}}{\frac{1}{e}}=e\cdot(e^{-\frac{1}{e}})$$

Answer 1

No se puede utilizar MVT en $[0,\frac{1}{e}]$ como $f$ no se define en $0$ (necesitamos continuidad allí para el MVT). Se puede evitar esta carencia ampliando $f$ continuamente. Porque $$\lim_{x\to 0^+}x^x=\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln x}=1$$ la función: $$g(x)=\begin{cases} x^x &\mbox{if } x\in (0,\frac{1}{e}]\\ 1&\mbox{if } x=0\end{cases}$$ es continua y diferenciable en $(0,\frac{1}{e})$ con la derivada $$g^{\prime}(x)=x^x(\ln x+1)$$ Si aplica el MVT en $[0,\frac{1}{e}]$ no obtendrás buenos resultados como has visto. En su lugar, obtendrá $$\xi^\xi =e^{\frac{-1}{e}+1}-1$$ para algunos $\xi\in (0,\frac{1}{e})$ que no se parece en nada a lo que quieres mostrar. En su lugar, debe aplicar MVT en este intervalo: $[x,\frac{1}{e}]$ .

Esto es lo que propongo:

Desde $x\in (0,\frac{1}{e})$ , $\ln x<-1$ y $$f^{\prime}(x)<0$$ Si aplicamos el MVT ahora sobre $[x,\frac{1}{e}]$ (para los fijos $0<x<\frac{1}{e}$ ) tenemos que $\exists \xi \in (x,\frac{1}{e})$ para que $$\frac{e^{\frac{-1}{e}}-x^x}{\frac{1}{e}-x}=f^{\prime}(\xi)<0\Rightarrow e^{\frac{-1}{e}}<x^x$$ Tenga en cuenta que en este enfoque no es necesario definir $g$ como $f$ es continua en $[x,\frac{1}{e}]$ por el hecho de ser fijo $0<x<\frac{1}{e}$

Moraleja: Cuando quieras demostrar una desigualdad utilizando la MVT el intervalo que debes utilizar puede ser de la forma $[a,x]$ o $[x,b]$

Answer 2

Tome $log$ es equivalente a demostrar que $xln(x)>-\frac{1}{e}$ . Utilizando los puntos $x, \frac{1}{e}$ entonces el teorema del valor medio nos dice que $\frac{xlnx+\frac{1}{e}}{x-\frac{1}{e}}=1+ln(a)$ para algunos $a\in [x, \frac{1}{e}]$ , por lo que tenemos que mostrar $(\frac{1}{e}-x)(1+ln(a))<0$ lo cual está claro ya que $\frac{1}{e}>x>0, ln(a)<ln(\frac{1}{e})<-1$