Idempotents en $Z_n$

Question

Un elemento $a$ de el anillo de $(P,+,\cdot)$ se llama idempotente si $a^2=a$. Un edempotent $a$ se llama trivial si $a \neq 0$$a \neq 1$.

Mi pregunta se refiere a la idempotens en los anillos de $Z_n$, con la adición y la multiplicación modulo $n$ donde $n$ es número natural. Obviamente, cuando se $n$ es un número primo, entonces no es trivial idempotents. Si $n$ es nonprime puede sucede, por ejemplo,$n=4, n=9$, que también hay ninguna.

Es saber, en general, para lo $n$ no son triviales idempotents y ¿qué es un formulario de tales idempotents?

Answer 1

Como sucede a menudo cuando se trata de con $\mathbf{Z}_n$, el teorema del resto Chino es tu amigo. Si la factorización prima de $n$ es $$ n=\prod_i p_i^{a_i}, $$ a continuación, el CRT tenemos un isomorfismo de anillos $$ \mathbf{Z}_n\cong\bigoplus_i \mathbf{Z}_{p_i^{a_i}}. $$ Así que el residuo de la clase de $m$ es un idempotente si y sólo si es un idempotente modulo de todos los el primer potencias $p_i^{a_i}$. Veamos el caso de un primer módulo de alimentación $p^t$. La congruencia $x^2\equiv x\pmod{p^t}$ mantiene, iff $p^t$ divide $x^2-x=x(x-1)$. Aquí sólo uno de los factores de, $x$ o $(x-1)$, puede ser divisible por $p$, por lo que para el producto para ser divisible por $p^t$ dicho factor, a continuación, tiene que ser divisible por $p^t$. Por lo tanto podemos concluir que el $x\equiv 0,1 \pmod{p^t}$ son la única idempotents modulo $p^t$. Por tanto, necesitamos que $$ m\equiv 0,1\pmod{p_i^{a_i}} $$ para todos los $i$. Por el CRT estos congruencia son independientes para diferentes $i$, por lo que el número de pares no congruentes idempotents es igual a $2^\ell$ donde $\ell$ es el número de los distintos factores primos $p_i$$n$.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Idempotents en $\rm\:\Bbb Z_n\:$ corresponden a factorizations de $\rm\:n\:$ en coprime factores. Es decir, si $\rm\:e^2 = e\in\Bbb Z_n\:$ $\rm\:n\:|\:e(e\!-\!1)\:$ $\rm\:n = jk,\ j\:|\:e,\ k\:|\:e\!-\!1,\:$ $\rm\:(j,k)= 1\:$ $\rm\:(e,e\!-\!1) = 1.\:$ por el Contrario si $\rm\:n = jk\:$$\rm\:(j,k)= 1,\:$, a continuación, por el CRT, $\rm\:\Bbb Z_n\cong \Bbb Z_j\times \Bbb Z_k\:$ a que no trivial idempotents $\rm\:(0,1),\,(1,0).\:$ no es tan difícil explícitamente los detalles de la correspondencia. Algunos algoritmos de factorización puede ser visto como la búsqueda de trivial idempotents.

Esta correspondencia entre idempotents y factorizations tiene más general en el nivel estructural - ver la Descomposición de Peirce.

Answer 3

Por el teorema del resto Chino $\mathbf Z/n\mathbf Z$ es un producto de más de uno (unital) anillo si y sólo si $n$ tiene más de un factor principal, y en este caso $\mathbf Z/n\mathbf Z$ tiene ciertamente trivial idempotents. Por otro lado, si $n=p^k$ es una fuente primaria de energía, a continuación, todos los elementos son invertible (si no es divisible por $p$) o nilpotent (si es divisible por $p$) y esto excluye la posibilidad de que no sea trivial idempotents. El caso de $n=1$ es un caso especial de una potencia principal (sino el único elemento que ahora es tanto invertible y nilpotent; todavía no hay ninguna que no sea trivial idempotents de curso).

Answer 4

Inicio: se puede averiguar! Vamos a empezar con un producto de $mn$ de enteros primos relativos, ninguna igual a $1$. Por el Teorema del Resto Chino, hay un $x$ tal que $x\equiv 0\pmod{m}$$x\equiv 1 \pmod{n}$. A continuación,$x^2\equiv x \pmod{mn}$.

Generalizar a un producto de $k$ relativamente primer enteros. Si utiliza el primer poder de la factorización, usted puede obtener la lista completa.