Nombre de una categoría construida a partir de la acción de un grupo en una categoría

Question

Deje $G$ ser un grupo que actúa en una categoría $C$. Es que tenemos un morfismos de grupos de $G \to Aut(C)$.

Ahora podemos formar una nueva categoría de la siguiente manera:

• Sus objetos son tuplas que consiste en un objeto de $x$$C$, junto con morfismos $\Phi_g : g \cdot x \to x$, satisfacer la condición : $\Phi_g \circ (g \cdot \Phi_h) = \Phi_{gh}$
• Una de morfismos $(x,\Phi) \to (y,\Psi)$ es una de morfismos $F:x \to y$ tal que $\Psi_g \circ (g \cdot F) = F \circ \Phi_g$

¿Esta nueva categoría (o al menos de sus objetos) tiene un nombre?

Answer 1

Sí. Se llama la categoría de homotopy puntos fijos $C^G$ por la acción de la $G$$C$. (Usted necesita una unidad en la condición de $\Phi_e$ pero eso no es una gran cosa.) Véase, por ejemplo, la secuencia de las entradas del blog a partir de aquí.

Un ejemplo típico es $G = \text{Gal}(L/K)$ es un grupo de Galois y $C$ es la categoría de objetos de algún tipo "$L$ " (por ejemplo, $L$- espacios vectoriales, $L$-álgebras, $L$-esquemas); a continuación, Galois descenso, es cuando se sostiene, afirma que $C^G$ es el correspondiente a la categoría de objetos "$K$." (La mayoría de los recursos acerca de Galois de descenso en la internet se hacen grandes esfuerzos para evitar decir esto).

Tenga en cuenta que $\text{Aut}(C)$ es un 2-grupo, no es un grupo, y esta distinción que realmente importa. Es posible que $\pi_0(\text{Aut}(C))$ ser trivial (el significado de cada equivalencia $C \to C$ es equivalente a $\text{id}_C$), pero por $\pi_1(\text{Aut}(C))$ a ser interesante, en cuyo caso las acciones de $G$ $C$ todavía puede ser muy interesante, aunque el individuo functors asociados a cada una de las $g \in G$ es equivalente a la identidad. La definición correcta de una acción de un grupo en una categoría, es por lo tanto un poco más involucrados y esto modifica ligeramente la definición de un homotopy punto fijo.