Cuenta Simple problema

Question

Supongamos que usted tiene una caja con $n$ bolas, de la $n$ bolas $k$ son blancos y $n-k$ son negros. Ahora, de forma secuencial dibujar (sin reemplazo) el $n$ bolas en grupos de a $m$ (un número natural que divide $n$). Mi pregunta es, ¿cuál es la probabilidad de que en cada una de las $n/m$ sorteos, hay al menos una bola blanca?

Un primer ingenua idea de que he explorado es pensar que tenemos $m$ urnas y colocar una bola blanca en cada urna, de la que, a continuación, el recuento de todas las formas posibles de dibujo $n-m$ bolas que $k-m$ son blancos y multiplicar este número por las posiciones en las que podemos colocar la bola blanca que ya está en la urna dentro de la secuencia:

$$ \frac{m^{n/m}{n-m\elegir k-m}}{n \elegir k} $$

Sin embargo, la fórmula anterior es obviamente overcounting algunas secuencias.

Answer 1

Deje $n=ma$. El problema es equivalente a la formación de palabras $$x_1x_2\cdots x_mx_{m+1}\cdots x_n$$ más de $\{b,w\}$ tal que $w$ se produce exactamente $k$ veces y cada una de las $a$ subpalabras $$x_1\cdots x_m\ ,\quad x_{m+1}\cdots x_{2m}\ ,\ldots$$ contiene al menos un $w$. Por medio de la inclusión/exclusión, el número de tales palabras es $$\sum_{j=0}^a (-1)^j\!\binom{a}{j}\!\!\!\binom{n-ja}{k}\ .$$