La ecuación diferencial: $x''=\frac{2x}{x^2-1}$

Question

Quiero resolver la ecuación diferencial$$\begin{cases}x''=\frac{2x}{x^2-1}\\x'(0)=0\\x(0)=x_0\end{cases}$$

Esto es lo que he hecho hasta ahora. No he estudiado la ecuación diferencial mucho, y la introducción de la función de $s$ a continuación es sólo un truco que he aprendido, pero no estoy seguro de por qué/si funciona.

Deje $s:=x'$. Entonces $$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{ds}{dt}=\frac{ds}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{ds}{dx}s$$ por lo que la ecuación anterior se convierte en $$s\frac{ds}{dx}=\frac{2x}{x^2-1}$$ $$s\,ds=\frac{2x}{x^2-1}\,dx$$$$\int s\,ds=\int\frac{2x}{x^2-1}\,dx+C$$ $$s^2=\log\lvert x^2-1\rvert+C$$$$x'=\omega\sqrt{\log\lvert x^2-1\rvert+C},\,\omega:\mathbb R_+\mapsto\{-1,1\}$$ y con $x'(0)=0$, $x(0)=x_0$ tenemos $$x'=\omega\sqrt{\log\bigg\lvert\frac{x^2-1}{x_0^2-1}\bigg\rvert}$$ ¿Cómo puedo seguir resolver para $x(t)$? Y estoy justificado en la introducción de $s$ y el tratamiento de la notación como yo lo hice para obtener el $x'$?

Answer 1

El procedimiento es correcto. La última ecuación es separable, y su solución se puede escribir como $$ \int_{x_0}^x\frac{dx}{\sqrt{\log\Big\lvert\dfrac{x^2-1}{x_0^2-1}\Big\rvert}}=x_0+\omega\,t. $$ Sin embargo, la integral no tiene forma cerrada en términos de funciones elementales (o incluso funciones especiales, como lo que puedo decir.)

Answer 2

Su cálculo es correcto. $$\frac{dx}{dt}=\omega\sqrt{\ln\bigg\lvert\frac{x^2-1}{x_0^2-1}\bigg\rvert}$$ con $\omega=\pm 1$ . $$t=\pm\int \frac{dx}{\sqrt{\ln\bigg\lvert\frac{x^2-1}{x_0^2-1}\bigg\rvert}}$$ Con la condición de $x(0)=x_0$ : $$t=\int_{x_0}^x \frac{d\xi}{\sqrt{\ln\bigg\lvert\frac{\xi^2-1}{x_0^2-1}\bigg\rvert}}$$ Uno puede mostrar que la integral es convergente para $\xi\to x_0$. Que no es el principal problema.

La integral no puede ser expresado en términos de las funciones estándar, a fortiori, el inverso de la función de $x(t)$. Cálculo numérico es necesario para resolver el problema.