¿Por qué integrar el movimiento Browniano probabilidad de transición y primero golpeando el tiempo de la densidad de producir un Cauchy?

Question

Estuve revisando algunos datos y conceptos sobre el movimiento Browniano y el vino a través de este resultado, que es el tipo de mente que sopla, y quería hacerte una idea de por qué es como es.

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ equipada con una filtración $\{\mathcal{F}\}_{t \geq 0}$, supongamos que tenemos un estándar de movimiento Browniano $B$ adaptado a dicha filtración.

Dijo que el movimiento Browniano, es bien sabido que la variable aleatoria antes de pegarle el tiempo de $T_\beta$ para un nivel de $\beta$ tiene función de densidad de

$$f_{T_\beta}(t) = \frac{|\beta|}{\sqrt{2\pi t^3}}\exp\left\{-\frac{\beta^2}{2t}\right\} \quad t>0$$

y que la probabilidad de transición para el movimiento Browniano estándar de $0$ $x$en el tiempo $t$ está dado por

$$p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left\{ -\frac{x^2}{2t}\right\} \quad t>0$$

Ahora el resultado me refería en la introducción es que

$$\int_0^\infty f_{T_\beta}(s) p(x,s) ds = \frac{|\beta|}{\pi(\beta^2 + x^2)}$$

La prueba es que no se muestra en el libro, ya que es bastante trivial. Aún así, no acabo de captar el subyacente de la intuición detrás de él. ¿Por qué el resultado de esta integral llegar a ser de Cauchy? Y podría cambiar la transición de la ley de $p$ (a decir de algún otro proceso) producir otras distribuciones de probabilidad cuando se integra después de ser multiplicada por su primer golpear distribuciones de tiempo?

Answer 1

(Esto está lejos de ser una respuesta completa a su pregunta... pero es demasiado largo para un comentario.)

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Su pregunta está relacionada con la subordinación de los procesos de Lévy. Antes de explicar esto con más detalle, permítanme parafrasear el resultado de lo que usted dijo.

Teorema 1: Vamos a $(B_t)_{t \geq 0}$ $(W_t)_{t \geq 0}$ ser independiente unidimensional Browniano movimientos. Si $$T_{t} := \inf\{s>0; W_s > t\} $$ is the first hitting time of $(t,\infty)$, then the process $$L_t := B_{T_t}, \qquad t \geq 0, $$ es un proceso de Cauchy.

Prueba: Debido a la independencia de $(T_t)_{t \geq 0}$$(B_t)_{t \geq 0}$, tenemos

$$\mathbb{P}(L_{t} \in A) = \int_{(0,\infty)} \mathbb{P}(B_s \in A) \, d\mathbb{P}_{T_t}(s)$$ Now we can plug in the distributions of $B_s$ and $T_t$ to conclude that $$\mathbb{P}(L_t \in A) = \int_A \left( \int_0^{\infty} p(s,x)f_{T_t}(s) \, ds \right) \, dx = \int_A \frac{t}{\pi (t^2+|x|^2)} \, dx$$ which shows that $L_t$ is Cauchy distributed for each $t$.

Es posible demostrar que el proceso de $(T_t)_{t \geq 0}$ es un proceso de Lévy (se ha parado y de incrementos independientes) con el aumento de la muestra de caminos, un llamado subordinator. Existe la siguiente declaración general de que los estados que Lévy procesos son cerrados bajo la subordinación.

Teorema 2: Deje $(X_t)_{t \geq 0}$ ser un proceso de Lévy y $(S_t)_{t \geq 0}$ independiente subordinator. A continuación, el subordinado proceso de $$L_t := X_{S_t}$$ es de nuevo un proceso de Lévy.

El movimiento Browniano es un (muy particular) en el caso de un proceso de Lévy. Podemos leer Teorema 1 de la siguiente manera: Si que subordinar el movimiento Browniano $(B_t)_{t \geq 0}$ con el independiente subordinator $(T_t)_{t \geq 0}$, entonces tenemos un proceso de Cauchy.

Es natural preguntarse qué sucede si queremos reemplazar la Browniano mociones $(B_t)_{t \geq 0}$ $(W_t)_{t \geq 0}$ por el general de procesos de Lévy. Se sigue por el Teorema 2 que el proceso resultante será un proceso de Lévy, pero es, en general, muy difícil identificar su distribución. Uno de los pocos casos en que esto sea posible es la siguiente:

Si reemplazamos $W_t$ en el Teorema 1 por una escala de movimiento Browniano con deriva $\delta^{-1}(W_t+\gamma t)$, entonces los subordinados proceso de $L_t$ tiene un normal inversa de la distribución Gaussiana.

Más precisamente, si $X$ ia normal inversa Gaussiana variable aleatoria con una media de $0$, entonces su función de densidad puede ser escrita en la forma

$$\int_0^{\infty} f_{T_t}(s) p(x,s) \, ds$$

donde $p$ es la transición de la densidad de movimiento Browniano, y $f_{T_t}$ la densidad de la primera golpear tiempo de $\delta^{-1}(W_t+\gamma t)$ (para el adecuado constantes $\delta,\gamma$), véase, por ejemplo, (1) para más detalles.

(1) O. E. Barndorff-Nielsen: Normal Inverso de distribución Gausiana y la Modelización de la Volatilidad Estocástica. Scandinavian Journal of Statistics 24 (1997), 1-13.