función característica independientes $X$ $Y$

Question

$X$ $Y$ son independientes, variables aleatorias idénticamente distribuidas con media de $0$ de la varianza $1$ y la función característica $\phi$ Si $X+Y$ $X-Y$ son independientes, demostrar que $$\phi(2t)=\phi(t)^3\phi(-t).$$By making the substitution $\gamma(t)=\phi(t)/\phi(-t)$ or otherwise, show that, for any positive integer $n$,$$\phi(t)={\left\{1-\frac {1}{2}{\left(\frac{t}{2^n}\right)}^2+o\left({\left[\frac t{2^n}\right]}^2\right)\right\}}^{4^n}$$ Hence, find the common distribution of $X$ and $$Y.

Yo sé cómo hacer la primera parte. Sin embargo, para la segunda parte, no tengo ninguna idea en absoluto. ¿Alguien puede enseñarme? Gracias.

Answer 1

La sustitución de $\gamma(t)$ tiene las siguientes propiedades:$$\gamma(t) = \phi(t)/\phi(-t)=\frac{\phi^3(t/2)\phi(-t/2)}{\phi(t/2)\phi^3(-t/2)}=\gamma^2(t/2)$$ therefore,$$\gamma(t)=\lim_{n\to\infty}{\gamma^{2^n}(t/2^n)}$$ Es fácil mostrar que $$\gamma(0)=1$$ $$\gamma'(0)=0$$ That means the maclaurin expansion as $t\to0$ will be $$\gamma(t)=1+o(t^2) $$ thus $$\gamma(t)=\lim_{n\to\infty}{{\left[1+o(t^2/4^n)\right]}^{2^n}}=1$$ Hence, $$\phi(t)=\phi(-t)$$ And further that $$\phi(2t)=\phi^4(t)$$ Therefore, $$\phi(t)=\phi^{4^n}(t/2^n)$$ We know that $$\phi(t)=1+E(X)ti-\frac{E(X^2)}2t^2+o(t^2)=1-\frac{t^2}2+o(t^2)$$ then we get that long expression. By taking limit on it we get $$\phi(t)=\lim_{n\to\infty}{\left\{1-\frac12\frac{t^2}{4^n}\right\}^{4^n}}=e^{-\frac12t^2}$$

Answer 2

A partir de la independencia tenemos $\varphi_{X+Y+(X-Y)}=\varphi_{2X}$ y por lo tanto $$ \varphi(2t) = \varphi(t)^2(\varphi(t)\varphi(-t)) = \varphi(t)^3\varphi(-t). $$ Set $\gamma(t) = \varphi(t)/\varphi(-t)$, luego $$ \gamma(2t) = \frac{\varphi(2t)}{\varphi(-2t)} = \frac{\varphi(t)^3\varphi (t)}{\varphi(-t)^3\varphi(t)} =\gamma(t)^2. $$ De ello se desprende que $\gamma(t)=\gamma(t/2)^2$ y por inducción, $\gamma(t) = \gamma(t/2^n)^{2^n}$ para los números enteros no negativos $n$. Por otra parte, $\varphi'(0)=i\mathbb E[X]=0$$\varphi''(0)=i^2\mathbb E[X^2] = -1$, así como el $h\to0$ tenemos por expansiones de Taylor $$ \gamma(h) = \frac{\varphi(h)}{\varphi(-h)} = \frac{1-\frac12h^2+o(h^2)}{1-\frac12h^2+o(h^2)} = 1 + o(h)^2. $$ De ello se desprende que para los grandes $n$, $$\gamma(t) = (1+o(t^2/2^{2n})^{2^n}\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow1,$$ y por lo $\gamma\equiv1$, produciendo $\varphi(t)=\varphi(-t)$. Por lo tanto,$\varphi(2t)=\varphi(t)^4$, por lo tanto $\varphi(t)=\varphi(t/2)^4$ y por inducción, $$\varphi(t)=\varphi(t/2^n)^{4^n},n\geqslant 1.$$ El uso de Taylor expansiones vemos que un gran $n$, $$ \varphi(t) = \left(1-\frac12\left(\frac t{2^n}\right)^2+o\left(\left(\frac t{2^n}\right)^2\right)\right)^{4^n}\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow \exp\left(-\frac12 t^2\right) $$ y, por tanto, $X$ $Y$ tiene distribución normal estándar.