La ecuación diferencial: $\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{(x+y)^2}{(x+2)(y-2)}$

Question

La solución de $\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{(x+y)^2}{(x+2)(y-2)}$ está dada por:

a) $(x+2)^4 (1+\frac{2y}{x})= ke^{\frac{2y}{x}}$

b) $(x+2)^4 (1+ 2\frac{(y-2)}{x+2})= ke^{\frac{2(y-2)}{x+2}}$

c) $(x+2)^3 (1+ 2\frac{(y-2)}{x+2})= ke^{\frac{2(y-2)}{x+2}}$

d) Ninguno de estos

Intento:

He ampliado y revisado pero no podía detectar cualquier exacta diferenciales.

En segundo lugar, no es una ecuación homogénea, por lo que no pudo utilizar $y = vx$.

¿Cómo puedo resolver este problema?

Answer 1

sugerencia: $x+y = (x+2) + (y-2)$ , y el uso de $(A+B)^2 = A^2 + 2AB +B^2, A = x+2,B = y - 2$ a ampliar el numerador y simplificar

Answer 2

Si no hay ningún error en la ecuación, no creo que una solución podría ser obtenida.

Lo mejor que pudo hacer fue, trabajando con $x(y)$ en lugar de $y(x)$ $$x'=\frac{(y-2) (x+2)}{(x+y)^2}$$ Making $x=z-2$ da $$z'=\frac{(y-2) z}{(z+y-2)^2} $ $ , que conduce a una ecuación implícita $$\frac{z (3 \log (z)+\log (z+2 y-4)-1)-2 y+4}{4 z}=C$ $ , que parece imposible de resolver.

Answer 3

Deje $X=x+2$$Y=y-2$, por lo que el dado es equivalente a la DE $$\dfrac{\mathrm d Y}{\mathrm d X}=\frac{(X+Y)^2}{X Y}$$ la última DE es homogénea, por lo que puede ser transformado en un separables DE por hacer $Y =uX$ como sigue $$\dfrac{\mathrm d Y}{\mathrm d X}=\frac{(X+Y)^2}{X Y}\qquad\iff\qquad u+X\frac{\mathrm d u}{\mathrm dX}=\frac{X^2(1+u)^2}{X^2u}$$ A continuación, obtenemos $$X\frac{\mathrm d u}{\mathrm d X}=\frac{1+2u}{u}\quad\implies\quad \frac{u}{2u+1}\dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d X}=\frac1X$$ La integración de ambos lados respecto a $X$ (suponiendo que $u$ depende de $X$), llegamos a la \begin{align*} \int\frac{u}{2u+1}\dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d X}\mathrm d X&=\int\frac1X\mathrm dX\\[4pt] \int\left(\frac12-\frac{1/2}{2u+1}\right)\mathrm du&=\int\frac1X\mathrm dX\\[4pt] \frac12u-\frac14\ln|2u+1|&=\ln|X|+c_1 \end{align*} Última igualdad es equivalente a $$\frac{y-2}{x+2}-\frac12\ln\left|\frac{2(y-2)}{x+2}+1\right|=2\ln|x+2|+2c_1$$ Observe que esta solución puede ser llevada a la forma b): \begin{align*} \frac{2(y-2)}{x+2}-4c_2&=4\ln|x+2|+\ln\left|\frac{2(y-2)}{x+2}+1\right|\\[4pt] k e^{\frac{2(y-2)}{x+2}}&=(x+4)^4\left[\frac{2(y-2)}{x+2}+1\right] \end{align*} donde $k=\pm e^{-4c_1}$

Answer 4

$$\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{(x+y)^2}{(x+2)(y-2)}=\left(\dfrac{x+y}{x+2}\right)^2\dfrac{x+2}{y-2}$$ deje $w=\dfrac{x+y}{x+2}$ $y=w(x+2)-x$ y $$w'(x+2)+w-1=y'=w^2\dfrac{1}{w-1}$$ que es separable $$\dfrac{w-1}{2w-1}dw=\dfrac{dx}{x+2}$$ con la integración de la solución obtenida.