Entero soluciones a $\prod\limits_{i=1}^{n}x_i=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2$

Question

Dado enteros $x_1,\dots,x_n>1$.

Supongamos WLOG que ${x_1}\leq\ldots\leq{x_n}$.

Quiero demostrar que el único entero soluciones de cualquier ecuación de este tipo son:

• $x_{1,2,3 }=3\implies\prod\limits_{i=1}^{3}x_i=\sum\limits_{i=1}^{3}x_i^2=27$
• $x_{1,2,3,4}=2\implies\prod\limits_{i=1}^{4}x_i=\sum\limits_{i=1}^{4}x_i^2=16$

Tengo una prueba parcial de abajo, pero hay un par de agujeros en ella que yo sería feliz para obtener ayuda.

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Para $n=1$:

• $x_1<x_1^2$
• $\color{green}{\text{Done.}}$

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Para $n=2$:

• ${x_1x_2}\leq{x_2x_2}={x_2^2}<{x_1^2+x_2^2}$
• $\color{green}{\text{Done.}}$

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Para$n=3$$x_1=2$:

• $\color{red}{\text{This seems to be the most difficult case.}}$
• $\color{red}{\text{I suspect that there might even be a solution here.}}$

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Para$n=3$$x_{1,2,3}=3,3,3$:

• $\prod\limits_{i=1}^{3}x_i=27=\sum\limits_{i=1}^{3}x_i^2$
• $\color{blue}{\text{This is a solution.}}$

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Para$n=3$$x_{1,2,3}=3,3,4$:

• $\prod\limits_{i=1}^{3}x_i=36>34=\sum\limits_{i=1}^{3}x_i^2$
• $\color{red}{\text{How do we prove that it holds for every }x_i\text{ being replaced with a larger value?}}$

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Para$n=4$$x_{1,2,3,4}=2,2,2,2$:

• $\prod\limits_{i=1}^{4}x_i=16=\sum\limits_{i=1}^{4}x_i^2$
• $\color{blue}{\text{This is a solution.}}$

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Para$n=4$$x_{1,2,3,4}=2,2,2,3$:

• $\prod\limits_{i=1}^{4}x_i=24>21=\sum\limits_{i=1}^{4}x_i^2$
• $\color{red}{\text{How do we prove that it holds for every }x_i\text{ being replaced with a larger value?}}$

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Para$n>4$$x_{1,\dots,n}=2,\dots,2$:

• $\prod\limits_{i=1}^{n}x_i=2^n>4n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2$ can prove by induction
• $\color{red}{\text{How do we prove that it holds for every }x_i\text{ being replaced with a larger value?}}$

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ACTUALIZACIÓN:

Basado en @sciona comentarios:

• Para$n=3$$x_1=2$, podemos mostrar que no hay soluciones:

  $\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-\prod\limits_{i=1}^{n}x_i=4+x_2^2+x_3^2-2x_2x_3=4+(x_2-x_3)^2>0$

  $\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-\prod\limits_{i=1}^{n}x_i>0\implies\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2>\prod\limits_{i=1}^{n}x_i\implies\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2\neq\prod\limits_{i=1}^{n}x_i$

• Podemos utilizar la solución de $(3,3,3)$ a fin de generar infinitamente muchos más:

  Si $(a,b,c)$ es una solución, entonces se $(b,c,bc-a)$

  Por ejemplo, $(3,3,3)\rightarrow(3,3,6)\rightarrow(3,6,15)\rightarrow\dots$

• Podemos utilizar la solución de $(2,2,2,2)$ a fin de generar infinitamente muchos más:

  Si $(a,b,c,d)$ es una solución, entonces se $(b,c,d,bcd-a)$

  Por ejemplo, $(2,2,2,2)\rightarrow(2,2,2,6)\rightarrow(2,2,6,22)\rightarrow\dots$

Así que mi pregunta se estrecha hacia abajo para demostrar que no hay ningún otro tipo de soluciones.

Answer 1

En esta respuesta, vamos a presentar un método para resolver las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números enteros para $n>2$ : $$(E_n)\,\,\, \ \ \ \ \ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=x_1x_2\cdots x_n \\ x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n$$

En primer lugar, como se mencionó anteriormente, dado $(x_1,\cdots,x_n)$ $E_n$ podemos construir otra solución por sustitución de un elemento $x_i$$ \prod_{j=1,j\neq i}^{n} x_j-x_i$. Con el fin de utilizar esta observación correctamente definimos : $$ P(X)=X^2-x_1x_2\cdots x_{n-1}X+x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{n-1}^2$$

tenemos claramente $P(x_n)=0$, si la otra raíz de esto $P$$t$, $(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},t)$ es una solución de $E_n$.

La idea de esta prueba es buscar un mínimo de soluciones: las soluciones para que $\sum_{i=1}^n x_i$ es mínima. observe que : $$P(x_{n-1})<0 \Rightarrow t<x_n$$

Así que si $(x_1,\cdots,x_n)$ es una solución mínima , a continuación, $0\leq P(x_{n-1})$ y esta desigualdad se reduce drásticamente el número de soluciones que en realidad vamos a demostrar que casi todos los $x_i$ son igual a $1$.

1. Caso $n=3:$

$$P(x_2) \geq 0 \Rightarrow x_2^2(3-x_1)+x_1^2-x_2^2 \geq 0 $$

y debido a que $x_1\leq x_2$ $x_2^2+x_3^2\geq 2x_2x_3$ llegamos a la conclusión de que $x_1=3$ , e $$ (2x_2-3x_3)^2-5x_3^2=-36 \ \ \ \ \ (P_1)$$ Este es un Pell_Fermat ecuación que tiene una infinidad de soluciones (ver aquí).

El conjunto de solución de $E_3$ está constituido por los valores tomados por una de las secuencias definidas por :

1. $\{a_0,b_0,c_0\}=\{3,x,y\}$ tal que $(x,y)$ es una solución a $P_1$

2. $(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})\in \{ (a_n,b_n,a_nb_n-c_n),(a_n,c_na_n-b_n,c_n),(b_nc_n-a_n,b_n,c_n)\}$.

   2. Caso $n>=4$ asume que $ 2^k \leq n \leq 2^{k+1}$ ($k=[log_2(n)]$) :

$$P(x_{n-1}) \geq 0 \Rightarrow x_{n-1}^2(n-\prod_{i=1}^{n-2}x_i)+\sum_{i=1}^{n-2}x_i^2-(n-2)x_{n-1}^2 \geq 0 $$ y debido a que $x_i$ es ordenó $\sum_{i=1}^{n-2}x_i^2-(n-2)x_{n-2}^2 \leq 0 $, por lo que, obviamente, $$\prod_{i=1}^{n-2}x_i \leq n $$

Este resultado es muy potente, se demuestra que para cualquier solución mínima, la primera $n-2$ enteros son limitadas, y se puede observar que al menos el $n-k$ primeros elementos de la secuencia de $(x_i)$ son igual a $1$ (podemos probar más que eso :sólo (n+1)/5 elementos se $\geq 2$ ). para construir soluciones a $E_n$ tomamos todas las tuplas $(x_1,x_2,\cdots, x_{n-1})$ tal forma que : $$\prod_{i=1}^{n-2}x_i \leq n $$ y verificamos si $P(x_{n-1}) \geq 0 $ y, finalmente, resolver el asociado Pell ecuación de Fermat: $$\sum_{i=1}^{n-2}x_i^2+ A^2+B^2=(\prod_{i=1}^{n-2}x_i)AB$$ donde $A=x_n$ $B=x_{n-1}$ podemos generar todas las soluciones utilizando las transformaciones $x_i\rightarrow \prod_{j=1,j\neq i}^{n} x_j-x_i$ como se mostró en el caso de $n=3$.

Finalmente, algunas observaciones:

• para $n=4$ el único asociado Pell ecuación de Fermat aquí.

• para $n=5$ el único asociado Pell ecuación de Fermat aquí.

• para $n\geq 21$ tendremos más de una ecuación.

Este método puede ser usado para demostrar que la ecuación $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=\alpha x_1x_2\cdots x_n $$ no tiene entero de soluciones (Edit : al $\alpha>n$).