Demostrando que $\operatorname{Tor}_n^R$ es un bifunctor

Question

$\newcommand{\Tor}{\operatorname{Tor}}$

Ex10.2 pg 615: un anillo De $R$ y fija $k \ge 0$, demuestran que, a $\Tor_n^R(-,-)$ es un bifunctor.

Soy consciente de este post. No estoy satisfecho con la respuesta. Estoy unfamilar con un total de complejos, y todavía no veo cómo el argumento escribe.

Preocupaciones:

1. No debe ser una opción de resolución proyectiva aquí. $P,Q$ resoluciones de $A,B$. Supongamos $P'$ es otra de resolución de $A$, entonces podemos demostrar que hemos $\mathbb{Z}$-isomoprhisms. $$\Tor_n^R(A,B) \cong \Tor_n^R(A,B)'$$

2. En Rotman del álgebra homológica, se definió $\Tor$, tal como se deriva functor de derecho tensor, whislt $\operatorname{tor}$, tal como se deriva functor de izquierda tensor. Por lo tanto, $\Tor$ es sólo un functor en su primer argumento, y ¿cómo dar sentido a un inducido de morfismos $\Tor_n^R(A,B) \rightarrow \Tor_n^R(A,B')$$B\rightarrow B'$ ?

3. Yo estaba pensando en que podemos usar el isomorfismo $\Tor_n(A,B) \cong \operatorname{tor}_n(A,B)$. Pero isomoprhism es terriblemente (para mí) oscurecida en la prueba: Teorema 6.32, página 355.
4. Cómo uno debe de enfoque? Puede alguien describir en detalle el uso total de los complejos?

Ok: por lo que he definido en mi propio "inducida por morfismos". Esta es la prueba que se me ocurrió. Me pregunto si es lo correcto. No me gusta como se requiere pointwise elemento chase - es inevitable?

Answer 1

$\newcommand{\Tor}{\operatorname{Tor}}$ Puede definir $\Tor$ limpiamente como un bifunctor de la siguiente manera, que no implica la doble complejos, pero esto es algo que usted tendrá que acostumbrarse a (para mejor o para peor). A lo largo del camino, se puede obtener también una prueba de que $\Tor$ puede ser calculado de la resolución de ambas variables.

Dado un derecho módulo de $M$ y a la izquierda del módulo de $N$, elija las resoluciones de la $\varepsilon:P\to M$$\varepsilon':Q\to N$. El complejo de $P\otimes Q$ se define de la siguiente manera: en el grado $n$, es la suma de los términos de$P_i\otimes Q_j$$i+j=n$, y el diferencial es $d_P\otimes 1+1\otimes d_Q$, con el signo apropiado regla que $(1\otimes d)(x\otimes y) = (-1)^{|x|}x\otimes dy$.

Que la asignación de $(P,Q)\to P\otimes Q$ es un bifunctor de los complejos complejos es algo que usted debe comprobar. En particular, la visualización de $M$ $N$ como complejos en grado $0$ sin diferencial, hay mapas de $\varepsilon \otimes 1:P\otimes Q\to M\otimes Q$$1\otimes \varepsilon' : P\otimes Q\to P\otimes N$.

Tomando homología, se puede obtener mapas de $\Tor(M,N) \longleftarrow H_*(P\otimes Q)\longrightarrow \Tor(M,N)'$ donde yo estoy usando un primer distinguir entre las dos posibles maneras de calcular la $\Tor$. Tenga en cuenta que todo esto es functorial hasta la elección de las resoluciones. Ahora puedo decir que tanto de estos mapas son isomorphisms.

El resultado de todo esto es que ahora se han identificado $\Tor$ como una composición de dos functors, uno es un bifunctor de los complejos y la otra la homología functor, por lo que a partir de esto es evidente que $\Tor$ es un bifunctor. Por otra parte, la descripción de la inducida por los mapas es la que sugieren, obtenido por el elemento persiguiendo.

La prueba de que los mapas de $\varepsilon\otimes 1$ $1\otimes \varepsilon'$ son cuasi-isomorphisms se puede encontrar en Rotman del libro, y en Weibel del libro también. Se basa en el Acíclicos de la Asamblea Lema, que es un ejemplo elemental de la utilización de los espectral de las secuencias.