El $L^1$ convergencia de las series de Fourier sin valor absoluto

Question

Tengo problemas con el siguiente problema de calidad.

Supongamos que $f \in L^2[-\pi,\pi]$ y $c_{j}=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{ijx}\,dx$ .

(a) Demuestre que $$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{j=-n}^{n}c_{j}\int_{a}^{b}e^{ijx}\,dx $$ para cualquier $[a,b] \subset [\pi,\pi]$ .

(b) ¿Sigue siendo cierta esta afirmación si $f \in L^{1}[-\pi,\pi]$ ?

He resuelto la parte $(a)$ . La prueba es la siguiente: para mostrar la igualdad, basta con mostrar la siguiente igualdad. $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left|\int_{a}^{b} (f(x) - \sum_{j=-n}^{n}c_{j}e^{ijx})\,dx\right| = 0. $$ Sin embargo, para el $L^2$ convergencia de las series de Fourier $$ \begin{split} \left|\int_{a}^{b} (f(x) - \sum_{j=-n}^{n}c_{j}e^{ijx})\,dx\right| &\leq \int_{a}^{b} |f(x) - \sum_{j=-n}^{n}c_{j}e^{ijx}|\,dx \\& \leq c\int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - \sum_{j=-n}^{n}c_{j}e^{ijx}|^2\,dx \rightarrow 0. \end{split} $$ Esto completa la prueba de la parte $(a)$ .

Parte $(b)$ parece ser más difícil. Conozco varios teoremas sobre las series de Fourier de $f \in L^1$ . El primer teorema es que existe una función $f \in L^1$ cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes. Otro teorema es que la suma parcial de las series de Fourier de $f$ no converge necesariamente a $f$ en $L^1$ -norma. Ninguna de ellas parece aplicarse directamente a nuestro problema. Además, si $[a,b]=[-\pi,\pi]$ la igualdad es válida para cualquier $f \in L^1$ .

¿Tiene alguna idea sobre la parte $(b)$ ? Cualquier comentario es bienvenido.

Answer 1

Sugerencias: dejar que $g(x)=\int_0^{x} f(t)\, dt$ . Entonces $g$ es una función continua de variación acotada. Por lo tanto su serie de Fourier converge uniformemente. Ahora calculamos los coeficientes de Fourier de $g$ utilizando la integración por partes y concluir la prueba. Un resultado más general: sea $\mu$ sea una medida compleja tal que $\mu \{x\}=0$ para todos $x$ y considerar la serie de Fourier $\sum e^{inx} \hat {\mu} (n)$ donde $\hat {\mu} (n) =\int e^{-inx} \, d \mu(x)$ . Entonces la "serie integrada $\sum (\int_0^{x} e^{int} \, dt) \hat {\mu} (n)$ converge uniformemente. La prueba es casi la misma que la del caso anterior.

Answer 2

Yaoliding me dio la prueba de la parte $(b)$ . Sorprendentemente, resultó ser cierto. La idea es utilizar la expresión del núcleo: $$ \sum_{j=-n}^{n}c_{j}e^{ijx} = (f * D_{n})(x), $$ donde $$ D_{n}(x)=\frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}. $$ Con esto y alguna propiedad de convulsión, $$ \int_{a}^{b} \sum_{j=-n}^{n}c_{j}e^{ijx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \chi_{[a,b]}(x)(f*D_{n})(x)\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} (\chi_{[a,b]}*D_{n})(x)f(x)\, dx. $$ Necesitamos algunas propiedades básicas del núcleo de Dirichlet.

1. $(\chi_{[a,b]}*D_{n})(x)$ está uniformemente acotado en el intervalo $[-\pi,\pi]$

2. $(\chi_{[a,b]}*D_{n})(x)$ converge a $\chi_{[a,b]}(x)$ en todos los puntos continuos excepto.

Ahora volvemos a nuestro problema original. \begin {reunir} \left | \int_ {a}^{b}(f(x) - \sum_ {j=-n}^{n}c_{j}e^{ijx})dx \right | = \left | \int_ {- \pi }^{ \pi }f(x)( \chi_ {[a,b]}(x)-(D_{n}* \chi_ {[a,b]})(x))\N-, dx \right |. \end {reunir} Dividimos el intervalo $[-\pi,\pi]$ en dos partes: $$E_{1}=[-\pi,a-\epsilon]\cup [a+\epsilon,b-\epsilon] \cup [b+\epsilon, \pi], \\ E_{2}=[a-\epsilon,a+\epsilon] \cup[b-\epsilon,b+\epsilon].$$ Tenga en cuenta que el conjunto $E_{1}$ es compacto. La integral sobre el conjunto $E_{1}$ es lo suficientemente pequeño debido a la propiedad $(2)$ y la integral sobre el conjunto $E_{2}$ también es lo suficientemente pequeño debido a la propiedad $(1)$ . Por lo tanto, obtenemos la parte $(b)$ .