Supongamos que tengo una variedad riemanniana conectada $X$ y una cubierta $\pi:Y\to X$ con la métrica tirada hacia atrás en $Y$ , haciendo que $\pi$ en una isometría local entre variedades riemannianas.
Supongamos que tenemos un bucle cerrado en $Y$ basado en un punto $y\in Y$ . Esto dará lugar a un elemento del grupo de holonomía $\mathrm{Hol}_y(Y)$ que después de fijar una base de $T_yY$ se convierte en un elemento de $\mathrm{GL}(n)$ (o $\mathrm O(n)$ realmente).
Si proyectamos el camino hacia $X$ obtenemos de nuevo un bucle cerrado, por lo tanto un elemento de $\mathrm{Hol}_xX$ , donde $x = \pi(y)$ y utilizando $\pi$ para mapear la base de $T_yY$ a uno de $T_xX$ esto se convierte en un elemento de $\mathrm{GL}(n)$ también, y podemos hablar de igualdad de forma sensata.
Dado que a lo largo de las trayectorias la geometría es idéntica (alrededor de cada punto hay una vecindad en la que $\pi$ induce una isometría) parece claro que deben inducir el mismo elemento en holonomía.
Esto significaría que la holonomía de $Y$ es un subgrupo de la holonomía de $X$ .
Esta inclusión puede ser estricta, si $X$ no es orientable, por ejemplo, su grupo de holonomía podría ser $\mathrm O(n)$ pero si tomamos $Y$ para ser su doble cubierta orientada su holonomía debe estar contenida en $\mathrm{SO}(n)$ .
¿Se puede decir algo más preciso sobre la relación entre los grupos de holonomía de $X$ y de $Y$ ? Yo esperaría que el grupo fundamental o más bien el grupo de transformaciones de la cubierta jugara un papel, pero no sé en qué forma.
Gracias.
