¿Cuál es el dominio de una división de funciones?

Question

Esta pregunta es acerca de las reales funciones reales de variables.

Creo que, en general, si el dominio de una función $f(x)$ es Una, y el dominio de otra función de $g(x)$ es B, entonces el dominio de $(f/g)(x)$ $\cap$B y donde $g\neq0$.

Ahora, ¿qué sucede si tengo algo como $f(x)=2$, $g(x)=1/x$? En este caso, $(f/g)(x)=2x$, lo que parece ser definida para todos los números reales. Pero mi declaración anterior (que creo que es correcto en general) implica que $x=0$ no está permitido. Así que estoy en conflicto.

Puede alguien decirme cuál es el dominio de $(f/g)(x)$ es en este caso? Es todos los números reales, o todos los números reales excepto $0$?

Gracias.

Answer 1

Tu error está en pensar que $$\frac2{1/x}\quad\hbox{and}\quad 2x$$ son siempre iguales. Ellos no están. Cuidadosamente demostrar que son iguales, tenemos $$\frac2{1/x}=\frac2{1/x}\,1=\frac2{1/x}\frac xx=\frac{2x}1=2x\ .$$ Pero esto no es correcto cuando se $x=0$, debido a $\frac00$ no es igual a $1$. Así que tenemos que considerar a $x=0$ por separado. En este caso tenemos a $2x=0$, pero $$\frac2{1/x}=\frac2{1/0}=\frac2{\hbox{nonsense}}=\hbox{nonsense}\ .$$ Así, en el ejemplo, el dominio de $f/g$ debe excluir $0$.

Answer 2

Si el dominio de $f$ $A$ y el dominio de $g$$B$, entonces el dominio de $f/g$ es $$A\cap B\setminus\{x:B|g(x)\ne 0\}.$$ (Of course, we must assume that $A\cap B\setminus\{x:B/g(x)\ne 0\}\ne \emptyset$. In other case $f/g$ no tiene sentido.)

En tu ejemplo, $f(x)=2$ $g(x)=1/x.$ Tenemos que

$$\dfrac{f(x)}{g(x)}=2x, \forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$ Why? Note that $g(0)$ no existe. Por tanto, no podemos considerar

$$\dfrac{f(0)}{g(0)}.$$

Answer 3

Es todos los números reales sin cero, creo. Echa un vistazo a este ejemplo similar: $$F(x)=\dfrac{(x-2)(x-1)}{(x-2)}$$ Se puede simplificar esta fracción a $F(x)=(x-1)$ SÓLO cuando 2 se excluye del dominio Así que podemos decir que el $F$ está definido $$\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}.$$ Aunque $F(x)=(x-1)$