Si el orden en un conjunto no importa, ¿podemos cambiar el orden de, por ejemplo, $\Bbb{N}$ ?

Question

Tengo entendido que el orden de los elementos de un conjunto no importa. Entonces, ¿puedo cambiar el orden del conjunto de los números naturales o de cualquier conjunto de números ( $\mathbb{W,Z,Q,R}$ para el caso) de la siguiente manera? $$ \mathbb{N} = \{ 1,2,5,4,3,\cdots \} $$ $$ \mathbb{N}= \{3,5,\cdots,78,1,9\} $$

Si es así, ¿es realmente problemático? Si no, ¿por qué no?

P.D.: Sé que es una pregunta tonta, pero me ronda por la cabeza desde hace mucho tiempo.

Answer 1

Es cierto que los conjuntos no están ordenados. En cuanto a si se puede "cambiar" el orden, no se puede cambiar algo que no existe.

Sin embargo, puede definir cualquier orden en ellos que desee. Por ejemplo, podemos ordenar los naturales de la forma habitual $$0,1,2,3,\ldots$$ o podemos definir un ordenamiento en el que todos los números pares vienen primero en su orden habitual, luego los números Impares $$ 0,2,4,6,\ldots, 1,3,5,7,\ldots.$$ Hay muchas, muchas posibilidades.

Además, la ordenación debe definirse de forma inequívoca para que sepamos exactamente la relación de orden entre dos elementos cualquiera. Por ejemplo, no sé a qué te refieres cuando escribes $$ \{3,5,...,78,1,9\}.$$ Está claro que te refieres a $9$ viene en último lugar (no es un problema que un ordenamiento tenga un elemento mayor, aunque en los dos ordenamientos que di arriba, no había ningún elemento mayor), pero no tengo idea de dónde $2$ va en este ordenamiento. Si escribieras esto de la nada, ni siquiera podría decir que es un ordenamiento de todo el conjunto de números naturales y no sólo de un subconjunto.

Editar

Henning menciona un ejemplo en los comentarios que creo que merece ser mencionado en la respuesta, para reforzar el hecho de que hay muchas posibilidades. Cualquier enumeración de un conjunto ordenado contablemente infinito induce un orden en los números naturales. Así, a partir de la ordenación habitual de los racionales y de una enumeración de los racionales, obtenemos una ordenación sobre los números naturales que es densa, es decir, que entre dos números cualesquiera hay otros infinitamente numerosos. Ni siquiera podemos intentar comunicar esta ordenación como una lista con algunas elipses.

Answer 2

Si tiene el conjunto $\{0, 1, 5, 3\}$ se puede escribir como $\{0, 3, 1, 5\}$ . Son el mismo conjunto, contienen los mismos elementos.

Y esto no es cambiar el orden de elementos en el mismo conjunto, ya que no hay orden de elementos en el mismo conjunto. Estás hablando del mismo conjunto, sólo que utilizando palabras diferentes. Si yo digo

• "Mi familia está formada por mí, mi mujer y nuestra hija",

y luego digo

• "En mi familia estamos nuestra hija, mi mujer y yo",

No he cambiado el orden de los miembros de mi familia, ¡eso no significa nada en este contexto! Sólo he utilizado palabras diferentes para decir lo mismo.

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Pero el quid de tu pregunta no es si puedes reordenar los elementos de un conjunto, sino lo que significa "...".

El "..." es una cosa curiosa en los textos matemáticos. En realidad, no es un concepto matemático en absoluto, sino que es una abreviatura de "querido lector, ya sabes lo que escribiría aquí si hubiera suficiente (posiblemente infinito) espacio y tiempo, así que vamos a fingir que lo he escrito aquí" .

Cuando se escribe " $\{1, 2, 3, 4, ...\}$ ", el lector sabe que si tuvieras suficiente espacio, escribirías ahí todos los enteros positivos, así que sabe que te refieres al conjunto de enteros positivos. Cuando se escribe " $\{1, 2, 5, 4, 3, ...\}$ ", el lector no tiene ni idea de lo que escribirías ahí. El problema no es que hayas escrito el conjunto en diferente orden, el problema es que no has sido lo suficientemente claro al decirle al lector lo que quieres decir.

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Volvemos a un ejemplo (un poco torpe) de lenguaje natural:

• "Recuerdo los nombres del tercer presidente de EE.UU., del cuarto presidente de EE.UU., del quinto presidente de EE.UU., y así sucesivamente".

El lector probablemente se dé cuenta de que quiere decir que conoce los nombres de todos los presidentes de EE.UU., excepto quizá los dos primeros.

• "Recuerdo los nombres del 30º presidente de EE.UU., del 6º presidente de EE.UU., del 17º presidente de EE.UU., y así sucesivamente".

El lector no tiene ni idea de lo que quieres decir.

Answer 3

En ZFC los dos conjuntos son el mismo conjunto. No veo por qué es problemático.

Answer 4

Si la definición de extensión de conjuntos requiriera que los conjuntos estuvieran ordenados, implicaría que no se podría definir en extensión un conjunto sin un orden.

Afortunadamente, ¡se pueden definir conjuntos no ordenados! Además, se pueden definir varios órdenes en un conjunto. ¿Cuál utilizarías para su definición?

Answer 5

El punto importante aquí es que en la teoría de conjuntos, las cosas que la mayoría piensa como el "ordenamiento" del conjunto $\mathbb N$ está codificado por separado del propio conjunto. El conjunto $\{1, 2, 3, ...\}$ por sí mismo, es sólo una colección de objetos abstractos y sin sentido denotados por los símbolos $1$ , $2$ , $3$ y así sucesivamente. Por supuesto, en tu cabeza, sabes que " $3$ es mayor que $1$ ", pero esa información no está contenida en la expresión $\{1, 2, 3, ...\}$ . El conjunto es sólo los objetos, no dice nada sobre otras relaciones entre esos objetos.

En la teoría de conjuntos, la información que describe qué números se consideran "mayores" que otros se codifica en un objeto totalmente independiente llamado relación . Una relación no es más que una propiedad de los pares de elementos de un conjunto: es verdadera para algunos pares del conjunto y falsa para otros. Aquí la relación es " $x$ es mayor que $y$ ". Es cierto para la pareja $(3, 2)$ , falso para el par $(4, 7)$ . Esta relación es un objeto totalmente independiente de la set $\mathbb N$ . Es como si $\mathbb N$ es sólo una gran pila de símbolos en la esquina de la habitación, y la relación de orden es un libro, separado de esa pila, que te dice qué números son "mayores que" otros, como una especie de manual de instrucciones.

Así que cambiar la notación de un conjunto no cambia el orden, porque no estamos tocando la relación de orden en sí.