¿Cuál es el radio de este círculo?

Question

Polígono $ABC$ es un triángulo equilátero. Tres congruentes semicircular arcos se dibujan en los tres lados y hacia el interior del triángulo. Los puntos terminales de los arcos semicirculares son los tres vértices del triángulo $ABC$. Semicírculo $C_1$ del diámetro de la $AB$ Semicírculo $C_2$ del diámetro de la $BC$ Semicírculo $C_3$ del diámetro de la $CA$

Un pequeño círculo de $F$ se dibuja de tal manera que es tangente interiormente a $C_1$ $C_3$ y externamente a $C_2$

¿Cuál es el radio de la circunferencia $ F$?

Aquí está la foto

Answer 1

El uso de coordenadas . . .

Por conveniencia de notación, deje $h=\sqrt{3}$.

Deje $B = (-1,0),\;C=(1,0),\;A=(0,h)$.

Deje $P$ ser el centro de la circunferencia.

A continuación, $P=(0,1+r)$ donde $r$ es el desconocido radio.

Deje $c(P,r)$ denotar el círculo centrado en $P$, con un radio de $r$.

Deje $M$ ser el punto medio del segmento de $CA$.

A continuación,$M=\bigl({\large{\frac{1}{2}}},{\large{\frac{h}{2}}}\bigr)$.

Deje $s(M,1)$ denotar la semicircunferencia centrada en $M$, con un radio de $1$, como se muestra en el diagrama.

Deje $T$ ser el punto donde $c(P,r)$ cumple con $s(M,1)$.

Desde $c(P,r)$ $s(M,1)$ son tangentes a cada uno de los otros a $T$, se deduce que los puntos de $M,P,T$ son colineales.

Entonces a partir de la $MT=1$$PT=r$, obtenemos $MP=1-r$, por lo tanto, por la fórmula de la distancia \begin{align*} &MP^2=(1-r)^2\\[4pt] \implies\;&\left({\small{\frac{1}{2}}}-0\right)^{\!2}+\left({\small{\frac{h}{2}}}-(1+r)\right)^{\!\!2}=(1-r)^2\\[4pt] \implies\;&r=\frac{4h-1-h^2}{4(4-h)}\\[4pt] &\phantom{r}=\frac{4\sqrt{3}-4}{4(4-\sqrt{3})}\\[4pt] &\phantom{r}=\frac{3\sqrt{3}-1}{13}\approx .3227809558\\[4pt] \end{align*}

Answer 2

Desde el triángulo rojo en la imagen podemos inferir $$(1-r)^2=\left({1\over2}\right)^2+\left(r+\left(1-{\sqrt{3}\over2}\right)\right)^2\ ,$$ y esto conduce a la $$r={3\sqrt{3}-1\over13}\ .$$

Answer 3

Aunque creo que el uso de las coordenadas es la mejor manera de resolver estos tipos de problemas, es divertido encontrar otra solución.
La figura a continuación es bastante evidente y nos da la construcción del círculo. Deje que el lado del triángulo $2R$

Usando la Ley de Cosenos llegamos $MH=R\sqrt{2-\sqrt{3}},\ MD=R\sqrt{5-2\sqrt{3}}\ $ (tenga en cuenta que estamos usando $\cos 105^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$). También tenemos $DE\cdot MD=AD\cdot DH$, lo que nos da $$\frac{R^2(\sqrt{3}-1)}{MD^2}=\frac{DE}{MD}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}-1}{5-2\sqrt{3}}=\frac{IE}{R-IE}$$ Que la última ecuación simplificada a $$IE=\frac{\sqrt{3}-1}{4-\sqrt{3}}R=\frac{3\sqrt{3}-1}{13}R$$