Solucionar $ \binom{a}{2} + \binom{b}{2} = \binom{c}{2} $ $a,b,c \in \mathbb{Z}$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación de Diophantine:

$$ \binom{a}{2} + \binom{b}{2} = \binom{c}{2} $$

Here's what it looks like if you expand, it's variant of the Pythagorean triples:

$$ a \times (a-1) + b \times (b-1) = c \times (c-1) $$

Yo era capaz de encontrar soluciones por computadora de búsqueda, pero esto también podría haberse comprobado mediante el principio de Hasse. \begin{eqnarray*} \binom{3}{2}+ \binom{3}{2}&=& \binom{4}{2} \\ \\ \binom{5}{2}+ \binom{10}{2}&=& \binom{11}{2} \\ \\ \binom{15}{2}+ \binom{15}{2}&=& \binom{21}{2} \end{eqnarray*}

y muchos otros. Hay una fórmula general para la $(a,b,c) \in \mathbb{Z}^3$ que satisfacen esta entero restricción.

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>>> N = 25
>>> f = lambda a : a*(a-1)/2
>>> X = [(a,b,c,f(a) + f(b) - f(c)) for a in range(N) for b in range(N) for c in range(N)] 

>>> [(x[0],x[1],x[2]) for x in X if x[3] == 0 and x[0] > 1  and x[1] > 1 and x[2] > 1]

[( 3,  3,  4),  ( 4, 6, 7) , ( 5, 10, 11), ( 6,  4,  7), ( 6,  7,  9), 
 ( 6, 15, 16),  ( 7, 6, 9) , ( 7, 10, 12), ( 7, 21, 22), ( 9, 11, 14), 
 (10,  5, 11),  (10, 7, 12), (10, 14, 17), (10, 22, 24), (11,  9, 14), 
 (12, 15, 19), (12, 21, 24), (13, 18, 22), (14, 10, 17), (15,  6, 16), 
 (15, 12, 19), (15, 15, 21), (15, 19, 24), (18, 13, 22), (19, 15, 24), 
 (21,  7, 22), (21, 12, 24), (22, 10, 24)]

Answer 1

Después de algunos álgebra puede reescribir la ecuación como $$ un(a-1)=(c-b)(c+b-1) $$

Tenga en cuenta que $c-b$ $c+b-1$ han opuesto a la paridad. Por el contrario, si $p$ $q$ son enteros con frente a la paridad, entonces podemos encontrar enteros $b,c$ tal que $p=c-b$, $q=c+b-1$: es decir, $b=\frac{q+1-p}{2}$$c=\frac{q+1+p}{2}$.

Es decir, todas las soluciones de la ecuación se puede obtener de la siguiente manera:

• Elija algunas de número de $a$. Factor $a(a-1)$ en dos números de $p,q$ de enfrente de la paridad. Desde $a(a-1)$ es siempre igual, esto quiere decir $p$ $q$ no puede ser ambos inclusive.
• Tomar $b=\frac{q+1-p}{2}$, $c=\frac{q+1+p}{2}$.

Por ejemplo, podríamos tomar a $a=16$. A continuación,$a(a-1)=240$, que los factores en dos números de signo contrario de la paridad en cuatro formas diferentes:

\begin{align} 1&\cdot 240\\ 3 &\cdot 80\\ 5 &\cdot 48\\ 15 &\cdot 16 \end{align}

Estos dan cuatro esencialmente diferentes soluciones de la ecuación: \begin{align} \binom{16}{2}+\binom{120}{2}&=\binom{121}{2}\\ \binom{16}{2}+\binom{39}{2}&=\binom{42}{2}\\ \binom{16}{2}+\binom{22}{2}&=\binom{27}{2}\\ \binom{16}{2}+\binom{1}{2}&=\binom{16}{2} \end{align}

Un par de notas:

• Intercambio de $p,q$, o su sustitución por $-p,-q$, da una solución, que es esencialmente el mismo si se recuerda que el $\binom{n}{2}=\binom{1-n}{2}$.
• La simetría entre las $a$ $b$ significa que este método se producen cada solución dos veces. Por ejemplo, la tercera solución anterior ($\binom{16}{2}+\binom{22}{2}=\binom{27}{2}$) también podría haber sido encontrado por tomar $a=22$, $p=11$, $q=42$.

Answer 2

$$ (2a-1)^2 + ( 2b-1)^2 = 1 + (2c-1)^2 $$

De tomar cualquier $c,$ si la derecha no es el doble de un número primo, no será trivial $a,b,$, mientras que el factoring el lado derecho da un método para la búsqueda de ellos, distinto de crudos de búsqueda. Así que es un enfoque.

La parametrización de todos los usos de la modulares grupo $SL_2 \mathbb Z$: tomar enteros $$ \alpha \delta - \beta \gamma = 1. $$ We also demand $\alpha \beta + \gamma \delta $ odd. This means that one of $\alpha, \beta \gamma \delta$ es par y el otro tres impar. Entonces

$$ 2a-1 = \alpha \delta + \beta \gamma $$ $$ 2b-1 = \alpha \beta - \gamma \delta $$ $$ 2c-1 = \alpha \beta + \gamma \delta $$

Otro enfoque es el automorphism grupo de la forma cuadrática. Sin embargo, consulte la página 124 en Magnus, Noneuclidean Tesselations y Sus Grupos, donde el Lema 3.7 muestra que este grupo también depende de la estructura modular del grupo. Bueno, en realidad 3.33 y 3.34 en la siguiente página, ahora que miro más detenidamente.

Debo enfatizar que $x^2 + y^2 - z^2 = 0$ posee una parametrización en sólo dos variables, mientras que $x^2 + y^2 - z^2 = 1$ salta inmediatamente a cuatro variables con una condición, a saber, el sistema modular de grupo. Vale la pena agregar $x^2 + y^2 + z^2 - w^2 = 0$ es naturalmente cuatro variables, es parametrizada por la integral cuaterniones.