Demostrar que no existe ninguna función real diferenciable $g(x)$ tal que $g(g(x))=-x^3+x+1$.

Question

Demostrar que no existe ningún diferenciable función real $g(x)$ tal que $g(g(x))=-x^3+x+1$.

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He buscado en google pero encontrar nada útil.

Ahora sé que es un Iterated function problema.

Es un ejercicio problema después de que el capítulo de DERIVADOS, por lo que supongo que tal vez no es demasiado difícil.

Me podría dar una pista para resolver este problema?

Me podría dar una lista de libros acerca de la introducción sistemática acerca de Iterada de la función?

Answer 1

Tenemos $$ g(g(g(x)) = -g(x)^3 + g(x) + 1 \ffi \\ g(-x^3+x+1) = -g(x)^3 + g(x) + 1 $$ Para $x=1$ esto se convierte en $$ g(1) = -g(1)^3 + g(1) + 1 \ffi \\ g(1)^3 = 1 $$ Por lo $g(1) = 1$ si $g$ es una función con valores reales.

La diferenciación de ambos lados de $g(g(x)) = -x^3+x+1$ da $$ g'(g(x))\, g'(x) = -3x^2 + 1 $$ Esto le da $$ g'(g(1))\,g'(1) = - 2 \ffi \\ g'(1)^2 = -2 $$ lo que no es posible para los verdaderos valores de $g'(x)$ y por lo tanto para $g(x)$, como la derivada de una función con valores reales es una función con valores reales.

Answer 2

Recordemos que un punto fijo de una función de $f$ es una solución a $f(x) = x$.

El único punto fijo de $g \circ g$$1$, por lo que el único punto fijo de $g$, si alguna, también es $1$, ya que cualquier punto fijo de $g$ es también un punto fijo de $g \circ g$. Si $g$ no tiene ningún punto fijo, pero en lugar de intercambios $1$$\xi = g(1) \neq 1$, entonces la gráfica de $g$ debe conectarse $(\xi, 1)$$(1, \xi)$. Estos puntos se encuentran en lados opuestos de la línea de $y=x$, independientemente del valor de $\xi$, lo $g$ tiene un punto fijo no $1$ por el Teorema del Valor Intermedio, una contradicción.

Por lo tanto, $g$ tiene un punto fijo, en $1$. Tomando derivados de $g \circ g$ da $g'(x) g'(g(x)) = 1 - 3x^2$. Establecimiento $x = g(x) = 1$ da $g'(1)^2 = -2$, imposible. La conclusión de la siguiente manera.