Cómo calcular localizaciones de cocientes de anillos de polinomios

Question

En este momento estoy tratando de entender el concepto de localizaciones de anillos / módulos. He hecho algunos ejercicios (utilizando el libro de Atiyah / MacDonald) y voy a hacer algunos más, pero una cuestión más práctica tomó mi atención.

Empecé con un ejemplo fácil y consideré el anillo $k[x]_x$ . Localizar en $x$ significa que $x$ y sus poderes se convierten en unidades en la localización. Por lo tanto, $$k[x]_x\cong k[x,x^{-1}]\cong k[x,y]/\langle xy-1\rangle,$$ ¿estoy en lo cierto para empezar?

Entonces quería calcular la localización de $k[x,y]/\langle xy-1\rangle$ en $\langle x-1,y-1\rangle$ . Este debe ser un ideal máximo en el cociente, ya que $\langle xy-1\rangle\subset\langle x-1,y-1\rangle$ . (Geométricamente, ¿qué significa esto aquí? El ideal máximo corresponde al punto $p=(1,1)$ en la hipérbola $xy-1=0$ por lo que "sólo recogemos información local en torno a $p$ " de alguna manera)

La localización conmuta con el cociente, por lo que $$(k[x,y]/\langle xy-1\rangle)_{\langle x-1,y-1\rangle}\cong k[x,y]_{\langle x-1,y-1\rangle}/\langle xy-1\rangle_{\langle x-1,y-1\rangle},$$ y aquí ya estoy atascado. ¿Existe una manera general de calcular anillos localizados de esta forma, o al menos algún plan que funcione a menudo en un caso como éste? Editar: ¿Podemos adivinar a qué debería ser isomorfo cuando lo miramos geométricamente?

¡Gracias por su ayuda/consejos de antemano!

Answer 1

Todo lo que has escrito es correcto y tienes la actitud correcta : atacar con agresividad los ejemplos simples y tratar de ver lo que sucede geométricamente.

En cuanto a la localización, puedes usar tu último isomorfismo si quieres: la localización sí conmuta con los cocientes.
Pero es más sencillo explotar su isomorfismo anterior $ k[x,y]/\langle xy-1\rangle \cong k[x,x^{-1}]$ en su lugar y escribir $$(k[x,y]/\langle xy-1\rangle)_{\langle x-1,y-1\rangle}\cong k[x,x^{-1}]_{{\langle x-1,x^{-1}-1\rangle}}=k[x,x^{-1}]_{{\langle x-1\rangle}}=k[x]_{{\langle x-1\rangle}} =k[x-1]_{{\langle x-1\rangle}}$$

Interpretación geométrica (¡muy importante!)
Estás estudiando una hipérbola en el plano cerca del punto $(1,1)$ proyectándolo en el $x$ -y se obtiene un isomorfismo con la línea afín punteada en cero.
La proyección envía $(1,1)$ al grano $x=1$ en la línea perforada y el anillo local $(k[x,y]/\langle xy-1\rangle)_{\langle x-1,y-1\rangle}$ de la hipérbola en $(1,1)$ isomórficamente al anillo local de la línea en $1$ , a saber $k[x-1]_{{\langle x-1\rangle}}$ .
Obsérvese cuidadosamente que la perforación de la línea afín no juega ningún papel en estas cuestiones locales: el punto $x=1$ sólo ve su vecindad inmediata y no se preocupa de lo que ocurre en $x=0$ .