He leído que el poder de la $(0,1)$$2^\mathbb{N_0}$, debido al hecho de que $(0,1)$ es equipotente, en líneas generales, para el conjunto de todas las representaciones binarias de los números en $(0,1)$ (y este conjunto tiene en sí misma un poder de $2^\mathbb{N_0}$).
Pero $(0,1)$ también se puede poner en bijection con, digamos, todos los de base 10 el número de representaciones. No que rinde una potencia de $10^\mathbb{N_0}$$(0,1)$?
Gracias de antemano.
Andy.
La prueba de $|(0,1)| = 2^{\aleph_0}$ construcciones de inyecciones en cada dirección. Si usted está en la base de las $10$$0.999^\sim = 1$, y sin embargo, ellos no tienen la misma base $10$ de representación.
La inyección en el (probablemente, estándar) prueba (pero puede haber muchas otras pruebas) es que se tome un mapa en $2^{\aleph_0}$ e interpretarla como la base de la $10$ en la representación de ese número. Bien eliminar los casos con infinidad de trailing mismo dígitos de $b-1$ donde $b$ es su base. Si usted está en la base de las $10$ y un mapa en $10^{\aleph_0}$ el mapa que se acaban de describir ahora no ser inyectiva.
Hay un bijection entre infinitas cadenas de más de $\{0,1,\ldots,9\}$ e infinito de cadenas de más de $\{0,1\}$, considere la posibilidad de: $$k\to 1^k0\text{ for }0\leq k\leq8, \qquad 9\to1^9.$$
Es un bijection porque es un prefijo de código (no hay imagen de un solo dígito es un prefijo de otro ejemplo de la imagen), y cada una de las infinitas palabra sobre $\{0,1\}$ es, obviamente, la imagen de algunos infinito de la palabra.
Por lo tanto,$2^{\aleph_0}=10^{\aleph_0}$.
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