Los jóvenes de la desigualdad de la convolución discreta

Question

Los jóvenes de la desigualdad para la convolución de las funciones de los estados que para $f\in L^p(\mathbb{R}^d)$ $g\in L^q(\mathbb{R}^d)$ hemos

$$\|f\star g\|_r\le\|f\|_p\|g\|_q$$

para $p$, $q$, $r$ la satisfacción de

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1.$$

¿Esta desigualdad se mantenga para las secuencias? Es decir, podemos reemplazar $L^n(\mathbb{R}^d)$ con $\ell_n$, $n=p,q$ respectivamente, donde la convolución de las secuencias es la convolución discreta?

Answer 1

Sí, los Jóvenes de la desigualdad puede ser demostrado para arbitrario localmente compacto grupos — bajo adecuado integrabilidad supuestos en $f$$g$, ver Hewitt–Ross, Abstracto, Análisis Armónico, yo, Teorema (20.18) en la página 296 de la declaración precisa.

Si $G$ pasa a ser abelian, compacto, discreto (o, más generalmente, unimodular), entonces estos supuestos traducir a: Si $f \in L^{p}$, $g \in L^q$ y $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$$1 \leq p, q, r \leq \infty$$f \ast g \in L^r$, y

$$\|f \ast g\|_r \leq \|f\|_p\,\|g\|_q.$$

La sustitución de las integrales por sumas robjohn el argumento de aquí se traslada sin dolor a $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}^d$.